Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7313
2018-05-14 
Очень длинная прямая равномерно заряженная нить имеет заряд $\lambda$ на единицу длины. Найти модуль и направление вектора напряженности электрического поля в точке, которая отстоит от нити на расстояние $y$ и находится на перпендикуляре к нити, проходящем через один из ее концов.
Решение:
Проблема сводится к поиску $E_{x}$ и $E_{y}$ проекции $\vec{E}$ на рис., где предполагается, что $\lambda > 0$.
Начнем с $E_{x}$. Вклад в $E_{x}$ заряда отрезка $dx$ равно
$dE_{x} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{ \lambda dx }{r^{2} } \sin \alpha$ (1)
Сведем это выражение в форму, удобную для интегрирования. В нашем случае $dx = r d \alpha / cos \alpha, r = y / \cos \alpha$. Тогда
$dE_{x} = \frac{ \lambda}{4 \pi \epsilon_{0} y } \sin \alpha d \alpha$.
Интегрируя это выражение через $\alpha$ между 0 и $\pi / 2$, находим
$E_{x} = \lambda / 4 \pi \epsilon_{0} y$.
Чтобы найти проекцию $E_{y}$, достаточно вспомнить, что $dE_{y}$ отличается от $dE_{x}$ тем, что $\sin \alpha$ в (1) просто заменяется на $\cos \alpha$. Это дает
$dE_{y} = ( \lambda \cos \alpha d \alpha) / 4 \pi \epsilon_{0} y$ и $E_{y} = \lambda / 4 \pi \epsilon_{0} y$.
Мы получили интересный результат:
$E_{x} = E_{y}$ независимо от y,
то есть $\vec{E}$ ориентируется под углом $45^{ \circ}$ к стержню. Модуль $\vec{E}$ имеет вид
$E = \sqrt{ E_{x}^{2} + E_{y}^{2} } = \lambda \sqrt{2} / 4 \pi \epsilon_{0} y$.
Очень длинная прямая равномерно заряженная нить имеет заряд $\lambda$ на единицу длины. Найти модуль и направление вектора напряженности электрического поля в точке, которая отстоит от нити на расстояние $y$ и находится на перпендикуляре к нити, проходящем через один из ее концов.
Решение:
Проблема сводится к поиску $E_{x}$ и $E_{y}$ проекции $\vec{E}$ на рис., где предполагается, что $\lambda > 0$.
Начнем с $E_{x}$. Вклад в $E_{x}$ заряда отрезка $dx$ равно
$dE_{x} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{ \lambda dx }{r^{2} } \sin \alpha$ (1)
Сведем это выражение в форму, удобную для интегрирования. В нашем случае $dx = r d \alpha / cos \alpha, r = y / \cos \alpha$. Тогда
$dE_{x} = \frac{ \lambda}{4 \pi \epsilon_{0} y } \sin \alpha d \alpha$.
Интегрируя это выражение через $\alpha$ между 0 и $\pi / 2$, находим
$E_{x} = \lambda / 4 \pi \epsilon_{0} y$.
Чтобы найти проекцию $E_{y}$, достаточно вспомнить, что $dE_{y}$ отличается от $dE_{x}$ тем, что $\sin \alpha$ в (1) просто заменяется на $\cos \alpha$. Это дает
$dE_{y} = ( \lambda \cos \alpha d \alpha) / 4 \pi \epsilon_{0} y$ и $E_{y} = \lambda / 4 \pi \epsilon_{0} y$.
Мы получили интересный результат:
$E_{x} = E_{y}$ независимо от y,
то есть $\vec{E}$ ориентируется под углом $45^{ \circ}$ к стержню. Модуль $\vec{E}$ имеет вид
$E = \sqrt{ E_{x}^{2} + E_{y}^{2} } = \lambda \sqrt{2} / 4 \pi \epsilon_{0} y$.
