Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7309
2018-05-14 
Точечный заряд $q$ находится в центре тонкого кольца радиуса $R$, по которому равномерно распределен заряд - $q$. Найти модуль вектора напряженности электрического поля на оси кольца в точке, отстоящей от центра кольца на расстояние $x$, если $x \gg R$.
Решение:
Электрический потенциал на расстоянии $x$ от данного кольца определяется выражением:
$\phi(x) = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} x } - \frac{q}{ 4 \pi \epsilon_{0} \sqrt{R^{2} + x^{2} } }$
Следовательно, напряженность поля вдоль оси x (которая является полной напряженностью поля в нашем случае),
$E_{x} = - \frac{d \phi}{dx} = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{1}{x^{2} } - \frac{qx}{4 \pi \epsilon_{0} (R^{2} + x^{2} )^{3/2} } = \frac{ \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} } x^{3} \left ( \left ( 1 + \frac{R^{2} }{x^{2} } \right )^{3/2} - 1 \right ) }{x^{2} (R^{2} + x^{2} )^{3/2} } = \frac{ \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} } x^{3} \left ( 1 + \frac{3}{2} \frac{R^{2} }{x^{2} } + \frac{3}{8} \frac{R^{4} }{x^{4} } + \cdots \right ) }{x^{2} (R^{2} + x^{2} )^{3/2} }$
Пренебрегая более высокой степенью $R/x$, при $x \gg R$.
$E = \frac{3qR^{2} }{8 \pi \epsilon_{0}x^{4} }$.
Примечание: вместо $\phi(x)$ мы можем написать $E(x)$ непосредственно, используя задачу 7308
Точечный заряд $q$ находится в центре тонкого кольца радиуса $R$, по которому равномерно распределен заряд - $q$. Найти модуль вектора напряженности электрического поля на оси кольца в точке, отстоящей от центра кольца на расстояние $x$, если $x \gg R$.
Решение:
Электрический потенциал на расстоянии $x$ от данного кольца определяется выражением:
$\phi(x) = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} x } - \frac{q}{ 4 \pi \epsilon_{0} \sqrt{R^{2} + x^{2} } }$
Следовательно, напряженность поля вдоль оси x (которая является полной напряженностью поля в нашем случае),
$E_{x} = - \frac{d \phi}{dx} = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{1}{x^{2} } - \frac{qx}{4 \pi \epsilon_{0} (R^{2} + x^{2} )^{3/2} } = \frac{ \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} } x^{3} \left ( \left ( 1 + \frac{R^{2} }{x^{2} } \right )^{3/2} - 1 \right ) }{x^{2} (R^{2} + x^{2} )^{3/2} } = \frac{ \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} } x^{3} \left ( 1 + \frac{3}{2} \frac{R^{2} }{x^{2} } + \frac{3}{8} \frac{R^{4} }{x^{4} } + \cdots \right ) }{x^{2} (R^{2} + x^{2} )^{3/2} }$
Пренебрегая более высокой степенью $R/x$, при $x \gg R$.
$E = \frac{3qR^{2} }{8 \pi \epsilon_{0}x^{4} }$.
Примечание: вместо $\phi(x)$ мы можем написать $E(x)$ непосредственно, используя задачу 7308
