ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-14   
Кольцо радиуса $r$ из тонкой проволоки имеет заряд $q$. Найти модуль напряженности электрического поля на оси кольца как функцию расстояния $l$ до его центра. Исследовать полученную зависимость при $l \ \gg r$. Определить максимальное значение напряженности и соответствующее расстояние $l$. Изобразить примерный график функции $E(l)$.


Решение:



Из симметрии условия ясно, что поле вдоль нормали будет равным нулю
то есть $E_{n} = 0$ и $E = E_{l}$

Тогда $dE_{l} = \frac{dq}{ 4 \pi \epsilon_{0} (R^{2} + l^{2} ) } \cos \theta$

Но $dq = \frac{q}{2 \pi R} dx$ и $\cos \theta = \frac{l}{ \sqrt{R^{2} + l^{2} } }$

Следовательно $E = \int dE_{l} = \int_{0}^{2 \pi R} \frac{ql}{2 \pi R} \frac{dx}{4 \pi \epsilon_{0} (R^{2} + l^{2} )^{3/2} }$

или $E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{ql}{ (l^{2} + R^{2} )^{3/2} }$

при $l \gg R$ кольцо ведет себя как точечный заряд, создающий поле,

$E \approx \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{q}{l^{2} }$

Для максимального значения $E_{max}$, должно быть $\frac{dE}{dl} = 0$

Итак, $(l^{2} + R^{2})^{3/2} - \frac{3}{2}l \sqrt{ l^{2} + R^{2} } 2l = 0$ или $l^{2} + R^{2} - 3l^{2} = 0$.

Таким образом, $l = \frac{R}{ \sqrt{2} }$ и $E_{max} = \frac{q}{ 6 \sqrt{3} \pi \epsilon_{0} R^{2} }$