ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-14   
Два небольших одинаково заряженных шарика, каждый массы $m$, подвешены к одной точке на шелковых нитях длины $l$. Расстояние между шариками $x \ll l$. Найти скорость утечки зарядов $dq/dt$ с каждого шарика, если скорость их сближения меняется по закону $v = a/ \sqrt{x}$, где $a$ — постоянная.


Решение:



Пусть шары отклоняются на угол $\theta$, от вертикали, когда расстояние между ними равно $x$.

Применяя второй закон Ньютона для любого шарика, получим,

$T \cos \theta = mg$ (1)
и $T \sin \theta = F_{e}$ (2)

Из уравнений (1) и (2)

$tg \theta = \frac{F_{e} }{mg}$ (3)

Из рисунка

$tg \theta = \frac{x}{ 2 \sqrt{ l^{2} - \left ( \frac{x}{2} \right )^{2} } } \approx \frac{x}{2l}$ $x \ll l$ (4)

Из уравнения (3) и (4)

$F_{e} = \frac{mgx}{2l}$ или $\frac{q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} x^{2} } = \frac{mgx}{2l}$

$q^{2} = \frac{2 \pi \epsilon_{0} mg x^{3} }{l}$ (5)

Дифференцируя уравнение (5) по времени

$2q \frac{dq}{dt} = \frac{2 \pi \epsilon_{0} mg }{l} 3 x^{2} \frac{dx}{dt}$

Согласно задаче $\frac{dx}{dt} = v = \frac{a}{ \sqrt{x} }$ (скорость сближения $ \frac{dx}{dt}$ )

Итак, $ \sqrt{ \frac{2 \pi \epsilon_{0} mg }{l} x^{3} } \frac{dq}{dt} = \frac{3 \pi \epsilon_{0} mg }{l} x^{2} \frac{a}{ \sqrt{x} }$

Следовательно, $\frac{dq}{dt} = \frac{3}{2}a \sqrt{ \frac{2 \pi \epsilon_{0} mg }{l} }$