2014-06-02
На сферическое зеркало радиуса $R = 5 см$ падают параллельно его оптической оси два луча - один проходит от оси на расстоянии $h_{1} =0,5 см$, другой на расстоянии $h_{2} = 3 см$.
Определите расстояние $\Delta x$ между точками, в которых эти лучи пересекают оптическую ось после отражения от зеркала.
Решение:
Пусть О - центр сферической поверхности зеркала, ABC – луч, который падает на расстоянии BE от оси зеркала. $OB = R$ (рис.). Из прямоугольного треугольника ОВЕ найдем. что $\sin \alpha = h/R$. Треугольник ОВС равнобедренный, так как $\angle ABO = \angle OBC$ по закону отражения, а $\angle BOC = \angle ABO$ как внутренние, накрест лежащие углы. Отсюда $OD = DB = R/2$. Из треугольника $ODC$ находим
$x = R/(2 \cos \alpha) = R^{2}/(2 \sqrt{R^{2}-h^{2}})$
(С - точка пересечения отраженного от зеркала луча с оптической осью).
Для луча, проходящего на расстоянии $h_{1}$, ввиду того что $h_{1}^{2} \ll R^{2}, x_{1} \approx R/2$ с погрешностью около 0,5%. Для луча, проходящего на расстоянии $h_{2}$, расстояние $x_{2} = 3,125 см$. Окончательно получим
$\Delta x = x_{2} – x_{1} \approx 0,6 см \neq 0$ (!)