2014-06-02
На одном берегу залива, который образует клин с углом $\alpha$, живет рыбак; ею дом находится в точке А (рис.). Расстояние от точки А до ближайшей к ней точки залива С равно $h$, а расстояние до конца залива, т. е. до точки D, равно $l$. На другом берегу залива в точке В находится дом приятеля рыбака. Точка В расположена симметрично (относительно залива) точке А. В распоряжении рыбака имеется лодка.
Определите минимальное время $t$, необходимое рыбаку, чтобы он из своего дома смог добраться до дома приятеля при условии, что рыбак может двигаться по суше со скоростью $v$ и плыть по заливу в лодке со скоростью, в два раза меньшей ($n = 2$).
Решение:
Задача является аналогом оптической задачи, в которой рассматривается преломление плоской волны в призме. При этом Лучу света, идущему от точки А в точку В (рис.), согласно законам геометрической оптики, требуется наименьшее время но сравнению со всеми другими траекториями.
Рыбак должен двигаться по траектории «луча света», т. е, подойти к точке E залива под углом $\gamma$, переплыть залив в лодке перпендикулярно биссектрисе угла $\alpha$ и двигаться далее по суше в направлении к точке B.
Угол $\gamma$ найдем из закона преломления ($n = 2$):
$\sin \gamma = n \sin (\alpha/2)$.
Расстояние $a$ равно
$a = h tg \: \gamma = h \frac{n \sin (\alpha/2)}{\sqrt{1-n^{2} \sin^{2}(\alpha/2)}}$.
Расстояние $b$ найдем из уравнения $a +b = \sqrt{l^{2}-h^{2}}$. Отсюда
$b = \sqrt{l^{2}-h^{2}} – h \frac{n \sin (\alpha/2)}{\sqrt{1-n^{2} \sin^{2}(\alpha/2)}}$.
Если $b >0$, т.е. $l^{2}- h^{2} > h^{2} \frac{n^{2} \sin^{2} (\alpha/2)}{1-n^{2} \sin^{2}(\alpha/2)}$, то рыбак должен воспользоваться лодкой. Отдельные участки пути при этом будут равны
$EK=p=b \sin \frac{\alpha}{2}= \left (\sqrt{ l^{2}- h^{2}} – h \frac{n \sin (\alpha/2)}{\sqrt{1-n^{2} \sin^{2}(\alpha/2)}} \right ) \sin \frac{\alpha}{2}$,
$AE=q= \frac{h}{ \cos \gamma}= \frac{h}{\sqrt{1-n^{2} \sin^{2}(\alpha/2)}}$
Итак, если $\frac{l^{2}-h^{2}}{h^{2}} > \frac{n^{2} \sin^{2} (\alpha/2)}{1 – n^{2} \sin^{2} (\alpha /2)}$, то искомое время равно
$t= 2 \left ( \frac{q}{v} + \frac{p}{v/n} \right ) = $
$=\frac{2h}{v} \left ( \frac{1}{\sqrt{1-n^{2} \sin^{2} (\alpha/2)}} + \frac{n \sqrt{l^{2}-h^{2}} \sin (\alpha/2)}{h} - \frac{n^{2} \sin^{2} (\alpha/2)}{ \sqrt{1-n^{2} \sin^{2}(\alpha /2)}} \right )=$
$=\frac{2h}{v} \left ( \sqrt{1-n^{2} \sin^{2} \frac{\alpha}{2}} + \frac{\sqrt{l^{2}-h^{2}}}{h}n \sin \frac{\alpha}{2} \right )$.
Если $\frac{l^{2}-h^{2}}{h^{2}} \leq \frac{n^{2} \sin^{2} (\alpha/2)}{1 – n^{2} \sin^{2}(\alpha /2)}$, то $t= \frac{2l}{v}$