ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-04-16   
Внутри мыльного пузыря радиуса $r$ находится идеальный газ. Наружное давление $p_{0}$, поверхностное натяжение мыльной воды $\alpha$. Найти разность между молярной теплоемкостью газа при нагреве его внутри пузыря и молярной теплоемкостью этого газа при постоянном давлении, $C - C_{p}$.


Решение:


Когда тепло передается к мыльному пузырю, температура воздуха внутри поднимается и пузырь расширяется, но если пузырь не разрывается, количество воздуха внутри не изменяется. Далее будем пренебрегать изменением поверхностного натяжения с температурой. Тогда из уравнения Менделеева

$\left ( p_{0} + \frac{4 \alpha}{ r} \right ) \frac{4 \pi}{3} r^{3} = \nu RT, \nu = const$

Дифференцируя

$\left ( p_{0} + \frac{8 \alpha}{ 3r} \right ) 4 \pi r^{2} dr = \nu RdT$

или $dV = 4 \pi r^{2} dr = \frac{ \nu RdT}{p_{0} + \frac{8 \alpha}{3r} }$

Теперь из первого закона термодинамики

$\bar{d} Q = \nu CdT = \nu C_{V} dT + \frac{ \nu RdT}{p_{0} + \frac{8 \alpha}{3r} } \left ( p_{0} + \frac{4 \alpha}{r} \right )$

или $C = C_{V} + R \frac{ p_{0} + \frac{4 \alpha}{ r} }{p_{0} \frac{8 \alpha}{3r} }$

с помощью $C_{p} = C_{V} + R, C = C_{p} + \frac{ \frac{1}{2}R }{1 + \frac{3p_{0} r}{8 \alpha} }$