Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7191
2018-04-16 
Теплоизолированный цилиндр разделен невесомым поршнем на две одинаковые части. По одну сторону поршня находится один моль идеального газа с показателем адиабаты $\gamma$, а по другую сторону — вакуум. Начальная температура газа $T_{0}$. Поршень отпустили, и газ заполнил весь цилиндр. Затем поршень медленно переместили в первоначальное положение. Найти приращение внутренней энергии и энтропии газа в результате этих двух процессов.
Решение:
Процесс состоит из двух частей. Первая часть - свободное расширение, в котором $U_{кон} = U_{нач}$. Вторая часть - адиабатическое сжатие, в результате которого работа приводит к изменению внутренней энергии. Очевидно, что
$0 = U_{F} - U_{кон} + \int_{V_{кон} }^{V_{0} } pdV, V_{кон} = 2 V_{0}$
Тогда в первой части $p_{кон} = \frac{1}{2} p_{0}, V_{кон} = 2V_{0}$, потому что нет изменения температуры. Во второй части $p V^{ \gamma} = \frac{1}{2} p_{0} (2V_{0})^{ \gamma} = 2^{ \gamma - 1} p_{0}V_{0}^{ \gamma}$
$\int_{2V_{0} }^{V_{0} } pdV = \int_{2V_{0} }^{V_{0} } \frac{2^{ \gamma - 1} p_{0}V_{0}^{ \gamma} }{V^{ \gamma} } dV = \left [ \frac{2^{ \gamma - 1}p_{0}V_{0}^{ \gamma} }{ - \gamma + 1} V^{ 1- \gamma} \right ]_{2V_{0}}^{V_{0} } = 2^{ \gamma - 1}p_{0}V_{0}^{ \gamma}V_{0}^{ - \gamma + 1} \frac{2^{ - \gamma + 1} - 1 }{ \gamma - 1} = - \frac{2^{ - \gamma + 1} - 1 }{ \gamma - 1} RT$
Таким образом $\Delta U = U_{кон} - U_{нач} = \frac{RT_{0} }{ \gamma - 1} (2^{ \gamma - 1} -1)$
Изменение энтропии $\Delta S = \Delta S_{I} + \Delta S_{II}$
$\Delta S_{I} = R ln 2$ и $\Delta S_{II} = 0$, поскольку процесс является обратимым адиабатическим. Таким образом, $\Delta S = R ln 2$.
Теплоизолированный цилиндр разделен невесомым поршнем на две одинаковые части. По одну сторону поршня находится один моль идеального газа с показателем адиабаты $\gamma$, а по другую сторону — вакуум. Начальная температура газа $T_{0}$. Поршень отпустили, и газ заполнил весь цилиндр. Затем поршень медленно переместили в первоначальное положение. Найти приращение внутренней энергии и энтропии газа в результате этих двух процессов.
Решение:
Процесс состоит из двух частей. Первая часть - свободное расширение, в котором $U_{кон} = U_{нач}$. Вторая часть - адиабатическое сжатие, в результате которого работа приводит к изменению внутренней энергии. Очевидно, что
$0 = U_{F} - U_{кон} + \int_{V_{кон} }^{V_{0} } pdV, V_{кон} = 2 V_{0}$
Тогда в первой части $p_{кон} = \frac{1}{2} p_{0}, V_{кон} = 2V_{0}$, потому что нет изменения температуры. Во второй части $p V^{ \gamma} = \frac{1}{2} p_{0} (2V_{0})^{ \gamma} = 2^{ \gamma - 1} p_{0}V_{0}^{ \gamma}$
$\int_{2V_{0} }^{V_{0} } pdV = \int_{2V_{0} }^{V_{0} } \frac{2^{ \gamma - 1} p_{0}V_{0}^{ \gamma} }{V^{ \gamma} } dV = \left [ \frac{2^{ \gamma - 1}p_{0}V_{0}^{ \gamma} }{ - \gamma + 1} V^{ 1- \gamma} \right ]_{2V_{0}}^{V_{0} } = 2^{ \gamma - 1}p_{0}V_{0}^{ \gamma}V_{0}^{ - \gamma + 1} \frac{2^{ - \gamma + 1} - 1 }{ \gamma - 1} = - \frac{2^{ - \gamma + 1} - 1 }{ \gamma - 1} RT$
Таким образом $\Delta U = U_{кон} - U_{нач} = \frac{RT_{0} }{ \gamma - 1} (2^{ \gamma - 1} -1)$
Изменение энтропии $\Delta S = \Delta S_{I} + \Delta S_{II}$
$\Delta S_{I} = R ln 2$ и $\Delta S_{II} = 0$, поскольку процесс является обратимым адиабатическим. Таким образом, $\Delta S = R ln 2$.
