Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7164
2018-04-16 
Идеальный газ совершает цикл, состоящий из изотермы политропы и адиабаты, причем изотермический процесс происходит при максимальной температуре цикла. Найти к. п. д. такого цикла, если абсолютная температура в его пределах изменяется в $n$ раз.
Решение:
Процесс из ($p_{1}, V_{1}, T_{0}$) в ($p_{2}, V_{2}, T_{0} / n$) является политропическим процессом с индексом $\alpha$. Будем считать, что соответствующая теплоемкость $C$ равна.
Здесь $dQ = CdT = C_{V}dT + pdV$
Итак $pV^{ \alpha} = const$ или $TV^{ \alpha - 1} = const$
значит $pdV = \frac{RT}{V}dV = - \frac{R}{ \alpha - 1} dT$
Тогда $C = C_{V} - \frac{R}{ \alpha - 1} = R \left ( \frac{1}{ \gamma - 1} - \frac{1}{ \alpha - 1} \right )$
Имеем $p_{1} V_{1} = RT_{0} = p_{2}V_{2} = \frac{RT_{0} }{n} = \frac{p_{1}V_{1} }{n}$
$p_{0}V_{0} = p_{1}V_{1} = np_{2}V_{2}, p_{0}V_{0}^{ \gamma} = p_{2}V_{2}^{ \gamma}$,
$p_{1}V_{1}^{ \alpha} = p_{2}V_{2}^{ \alpha}$ или $V_{0}^{ \gamma - 1} = \frac{1}{n} V_{2}^{ \gamma - 1}$ или $V_{2} = V_{0}n^{ \frac{1}{ \gamma - 1} }$
$V_{1}^{ \alpha - 1 } = \frac{1}{n} V_{2}^{ \alpha - 1}$ или $V_{1} = n^{ - \frac{1}{ \alpha - 1} } V_{2} = n^{ \frac{1}{ \gamma - 1} - \frac{1}{ \alpha - 1} } V_{0}$
Поскольку $Q_{2}^{ \prime} = CT_{0} \left ( 1 - \frac{1}{n} \right ), Q_{1} = RT_{0} ln \frac{V_{1} }{V_{0} } = RT_{0} \left ( \frac{1}{ \gamma - 1} - \frac{1}{ \alpha - 1} \right ) ln n = CT_{0} ln n$
Таким образом, $\eta = 1 - \frac{n - 1}{n ln n}$
Идеальный газ совершает цикл, состоящий из изотермы политропы и адиабаты, причем изотермический процесс происходит при максимальной температуре цикла. Найти к. п. д. такого цикла, если абсолютная температура в его пределах изменяется в $n$ раз.
Решение:
Процесс из ($p_{1}, V_{1}, T_{0}$) в ($p_{2}, V_{2}, T_{0} / n$) является политропическим процессом с индексом $\alpha$. Будем считать, что соответствующая теплоемкость $C$ равна.
Здесь $dQ = CdT = C_{V}dT + pdV$
Итак $pV^{ \alpha} = const$ или $TV^{ \alpha - 1} = const$
значит $pdV = \frac{RT}{V}dV = - \frac{R}{ \alpha - 1} dT$
Тогда $C = C_{V} - \frac{R}{ \alpha - 1} = R \left ( \frac{1}{ \gamma - 1} - \frac{1}{ \alpha - 1} \right )$
Имеем $p_{1} V_{1} = RT_{0} = p_{2}V_{2} = \frac{RT_{0} }{n} = \frac{p_{1}V_{1} }{n}$
$p_{0}V_{0} = p_{1}V_{1} = np_{2}V_{2}, p_{0}V_{0}^{ \gamma} = p_{2}V_{2}^{ \gamma}$,
$p_{1}V_{1}^{ \alpha} = p_{2}V_{2}^{ \alpha}$ или $V_{0}^{ \gamma - 1} = \frac{1}{n} V_{2}^{ \gamma - 1}$ или $V_{2} = V_{0}n^{ \frac{1}{ \gamma - 1} }$
$V_{1}^{ \alpha - 1 } = \frac{1}{n} V_{2}^{ \alpha - 1}$ или $V_{1} = n^{ - \frac{1}{ \alpha - 1} } V_{2} = n^{ \frac{1}{ \gamma - 1} - \frac{1}{ \alpha - 1} } V_{0}$
Поскольку $Q_{2}^{ \prime} = CT_{0} \left ( 1 - \frac{1}{n} \right ), Q_{1} = RT_{0} ln \frac{V_{1} }{V_{0} } = RT_{0} \left ( \frac{1}{ \gamma - 1} - \frac{1}{ \alpha - 1} \right ) ln n = CT_{0} ln n$
Таким образом, $\eta = 1 - \frac{n - 1}{n ln n}$
