2014-06-01
Цилиндрический прозрачный сосуд высоты $l (l \ll R_{с}; R_{c}$ - радиус сосуда) заполнен идеальным газом с молярной массой $\mu$, температурой $T$ под давлением $p_{0}$. Зависимость показателя преломления $n$ газа от его плотности $\rho$ удовлетворяет соотношению $n = 1 + \alpha \rho$. Сосуд привели во вращение с угловой скоростью $\omega$ вокруг оси. Вдоль оси на сосуд падает узкий параллельный световой пучок радиуса $r_{п}$.
Определите радиус $R$ пятна на экране, расположенном перпендикулярно оси сосуда за ним на расстоянии $L$. Считать, что изменение давления газа в каждой точке сосуда вследствие вращения мало по сравнению с $p_{0}$. Влиянием торцов сосуда на ход световых лучей пренебречь.
Решение:
рис.1
Найдем сначала распределение давления газа вблизи оси сосуда. Рассмотрим элемент объема газа $\Delta r \Delta S$ (рис.1). Центростремительное ускорение этого элемента $a = \omega^{2}r$ обеспечивается разностью соответствующих давлений:
$[p(r+ \Delta r)-p(r)] \Delta S = \rho \Delta r \Delta S \omega^{2} r$.
Поэтому для изменения давления получим уравнение
$dp/dr = \rho \omega^{2}r$.
Так как для идеального газа выполняется соотношение $\mu p = \rho RT$ ($R$ - универсальная газовая постоянная), то
$dp/dr = p (\mu \omega^{2}/RT)r$.
Согласно условию задачи, при $r \leq r_{п} \: p(r) – p_{0} \ll p_{0}$ следовательно,
$p(r) \approx p_{0} \left ( 1 + \frac{\mu \omega^{2}}{2RT} r^{2} \right )$
Соответственно для плотности газа при $r \leq r_{п}$ получим
$\rho(r) \approx \rho_{0} \left ( 1 +\frac{\mu \omega^{2}}{2RT}r^{2} \right ), \rho_{0}=p_{0} \frac{\mu}{RT}$
а для показателя преломления имеем
$n(r) = n_{0} + kr^{2}, n_{0}= 1 +alpha \rho_{0}, k = \frac{\alpha p_{0}}{2} \left ( \frac{\mu \omega}{RT} \right )^{2}$.
Найдем теперь угол преломления луча, проходящего через сосуд на расстоянии $r$ от оси. Оптический путь, пройденный им в сосуде, равен $n(r)l$.
рис.2
Оптическая разность хода $\delta_{опт}$ двух близких лучей после прохождения сосуда должна равняться геометрической разности хода $\delta$, вызванной отклонением лучей от первоначального направления распространения. В этом случае интерференция лучей приведет к их усилению (принцип Гюйгенса). Из рис. 2 следует, что
$\delta_{опт}=[n(r+ \Delta r)-n(r)]l, \delta= \Delta r \sin \phi$.
Отсюда
$\sin \phi = \frac{\delta}{\Delta r} = \frac{[n(r+ \Delta r)-n(r)]}{\Delta r}l = 2klr$
Здесь можно сделать следующий вывод. Если рассматривать узкий пучок света такой, что угол отклонения $\phi$ будет мал, то $\phi \sim r$, т. е. вращающийся сосуд будет работать как рассеивающаяся линза с фокусным расстоянием $F = (2kl)^{-1}$.
Итак, для максимального угла отклонения получим
$\sin \phi_{max} = 2klr_{п}$.
Поэтому искомый радиус пятна на экране равен
$R=r_{п}+L tg \: \phi_{max}$.
В приближении рассеивающей линзы получим
$R \approx r_{п} + L \phi_{max} \approx r_{п} + 2klr_{п}L= r_{п} \left [ 1 + \alpha p_{0} l L \left ( \frac{\mu \omega}{RT} \right )^{2} \right ]$