Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7128
2018-04-16 
Найти для газообразного азота:
а) температуру, при которой скоростям молекул $v_{1} = 300 м/с$ и $v_{2} = 600 м/с$ соответствуют одинаковые значения функции распределения Максвелла $F(v)$;
б) скорость $v$ молекул, при которой значение функции распределения Максвелла $F(v)$ для температуры $T_{0}$ будет таким же, как и для температуры в $\eta$ раз большей.
Решение:
(а) Мы имеем,
$\frac{v_{1}^{2} }{v_{p}^{2} } e^{ - v_{1}^{2}/v_{p}^{2} } = \frac{v_{2}^{2} }{v_{p}^{2} } e^{ -v_{2}^{2}/v_{p}^{2} }$ или $\left ( \frac{v_{1} }{v_{2} } \right )^{2} = e^{v_{1}^{2} - v_{2}^{2}/v_{p}^{2} }$ или $v_{p}^{2} = \frac{2kT}{m} = \frac{v_{1}^{2} - v_{2}^{2} }{ (ln v_{1}^{2} /v_{2}^{2} ) }$
Итак $T = \frac{m(v_{1}^{2} - v_{2}^{2} ) }{2k ln \frac{v_{1}^{2} }{v_{2}^{2} } } = 330 К$
(b) $F(v) = \frac{4}{ \sqrt{ \pi} } \frac{v^{2} }{v_{вер}^{2} } e^{-v^{2}/v_{p}^{2}} \frac{1}{v_{вер} }$ ( $\frac{1}{v_{вер} }$ получается из $F(v)dv = df (u), du = \frac{dv}{v_{вер} }$)
Таким образом, $\frac{v^{2} }{v_{вер}^{3} } e^{ -v^{2}/v_{вер1}^{2} } = v^{2}/ v_{вер2}e^{ - v_{1}/v_{2} } v_{вер1}^{2} = \frac{2kT_{0} }{m}, v_{вер2}^{2} = \frac{2kT_{0} }{m} \eta$ теперь
$e^{ - \frac{mv^{2} }{2kT_{0} } \left ( 1 - \frac{1}{ \eta} \right ) } = \frac{1}{ \eta^{3/2} }$ или $\frac{mv^{2} }{2kT_{0} } \left ( 1 - \frac{1}{ \eta} \right ) = \frac{3}{2} ln \eta$
таким образом $v = \sqrt{ \frac{3kT_{0} }{m} } \sqrt{ \frac{ln \eta}{1 - 1/ eta} }$
Найти для газообразного азота:
а) температуру, при которой скоростям молекул $v_{1} = 300 м/с$ и $v_{2} = 600 м/с$ соответствуют одинаковые значения функции распределения Максвелла $F(v)$;
б) скорость $v$ молекул, при которой значение функции распределения Максвелла $F(v)$ для температуры $T_{0}$ будет таким же, как и для температуры в $\eta$ раз большей.
Решение:
(а) Мы имеем,
$\frac{v_{1}^{2} }{v_{p}^{2} } e^{ - v_{1}^{2}/v_{p}^{2} } = \frac{v_{2}^{2} }{v_{p}^{2} } e^{ -v_{2}^{2}/v_{p}^{2} }$ или $\left ( \frac{v_{1} }{v_{2} } \right )^{2} = e^{v_{1}^{2} - v_{2}^{2}/v_{p}^{2} }$ или $v_{p}^{2} = \frac{2kT}{m} = \frac{v_{1}^{2} - v_{2}^{2} }{ (ln v_{1}^{2} /v_{2}^{2} ) }$
Итак $T = \frac{m(v_{1}^{2} - v_{2}^{2} ) }{2k ln \frac{v_{1}^{2} }{v_{2}^{2} } } = 330 К$
(b) $F(v) = \frac{4}{ \sqrt{ \pi} } \frac{v^{2} }{v_{вер}^{2} } e^{-v^{2}/v_{p}^{2}} \frac{1}{v_{вер} }$ ( $\frac{1}{v_{вер} }$ получается из $F(v)dv = df (u), du = \frac{dv}{v_{вер} }$)
Таким образом, $\frac{v^{2} }{v_{вер}^{3} } e^{ -v^{2}/v_{вер1}^{2} } = v^{2}/ v_{вер2}e^{ - v_{1}/v_{2} } v_{вер1}^{2} = \frac{2kT_{0} }{m}, v_{вер2}^{2} = \frac{2kT_{0} }{m} \eta$ теперь
$e^{ - \frac{mv^{2} }{2kT_{0} } \left ( 1 - \frac{1}{ \eta} \right ) } = \frac{1}{ \eta^{3/2} }$ или $\frac{mv^{2} }{2kT_{0} } \left ( 1 - \frac{1}{ \eta} \right ) = \frac{3}{2} ln \eta$
таким образом $v = \sqrt{ \frac{3kT_{0} }{m} } \sqrt{ \frac{ln \eta}{1 - 1/ eta} }$
