ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-04-16   
Найти для ван-дер-ваальсовского газа:
а) уравнение адиабаты в параметрах $T, V$;
б) разность молярных теплоемкостей $C_{p} - C_{V}$ как функцию $T$ и $V$.


Решение:


(а) Из первого закона для адиабатического процесса

$dQ = dU + pdV = 0$

Из задачи 7100

$dU = \left ( \frac{ \partial U}{ \partial T} \right )_{V} dT + \left ( \frac{ \partial U}{ \partial V} \right )_{T} dV = C_{V}dT + \frac{a}{V^{2} }dV$

Итак, $0 = C_{V}dT + \frac{RTdV}{V- b}$

Это уравнение может быть интегрировано, если предположить, что $C_{V}$ и $b$ постоянны, тогда $\frac{R}{C_{V} } \frac{dV}{V - b} + \frac{dT}{T} = 0$, или, $ln T + \frac{R}{C_{V} } ln (V - b) = const$

или, $T(V - b)^{R/C_{V} } = const$

(б) Мы используем

$dU = C_{V}dT + \frac{a}{V^{2} }dV$

Так что, $dQ = C_{V}dT + \frac{RT}{V - b }dV$

Таким образом, по постоянной $p$, $C_{p} = C_{V} + \frac{RT}{V - b} \left ( \frac{ \partial V}{ \partial T} \right )_{p}$

Таким образом $C_{p} - C_{V} = \frac{RT}{V - b} \left ( \frac{ \partial V}{ \partial T} \right )_{p}$, Bit $p = \frac{RT}{ V - b} - \frac{a}{V^{2} }$

Дифференцируя, $0 = \left ( - \frac{RT}{(V - b)^{2} } + \frac{2a}{V^{2} } \right ) \left ( \frac{ \partial V}{ \partial T} \right )_{p} + \frac{R}{V - b}$

или, $T \left ( \frac{ \partial V}{ \partial T} \right )_{p} = \frac{RT/V - b}{ \frac{RT}{ (V - b)^{2} } - \frac{2a}{V^{3} } } = \frac{V - b}{1 - \frac{2a(V -b)^[2] }{RTV^{3} } }$

и $C_{p} - C_{V} = \frac{R}{1 - \frac{2a(V - b)^{2} }{RTV^{3} } }$