ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-04-16   
Найти для идеального газа уравнение процесса (в переменных $T, V$), при котором молярная теплоемкость газа изменяется по закону:
а) $C = C_{V} + \alpha T$; б) $C = C_{V} + \beta V$; в) $C = C_{V} + ap$.
Здесь $\alpha , \beta$ и $a$ — постоянные.


Решение:


Теплоемкость определяется $C = C_{V} + \frac{RT}{V} \frac{dV}{dT}$

(a) Учитывая $C = C_{V} + \alpha T$

Итак, $C_{V} + \alpha T = C_{V} + \frac{RT}{V} \frac{dV}{dT}$ или, $\frac{ \alpha }{R} dT = \frac{dV}{V}$

Интегрируя обе стороны, получаем $\frac{ \alpha }{R} T = ln V + ln C_{0} = ln VC_{0}, C_{0}$ является const

Или, $VC_{0} = e^{ \alpha T/ R}$ или $V e^{ \alpha T/R } = \frac{1}{C_{0} } = const$

(b) $C = C_{V} + \beta V$

а также $C = C_{V} + \frac{RT}{V} \frac{dV}{dT}$ и $C_{V} \frac{RT}{V} \frac{dV}{dT} = C_{V} + \beta V$

или, $\frac{RT}{V } \frac{dV}{dT} = \beta V$ или, $\frac{dV}{V^{2} } = \frac{ \beta}{R} \frac{dT}{T}$ или, $V^{ - 2} = \frac{dT}{T}$

Интегрируя обе стороны, получаем $\frac{R}{ \beta} \frac{ V^{-1} }{ \beta - 1} = ln T + ln C_{0} = ln TC_{0}$

Итак, $ln T C_{0} = - \frac{R}{ \beta V} TC_{0} - e^{ - R/ \beta V}$ или, $Te^{ -R / \beta V} = \frac{1}{C_{0} } = const$

(с) $C = C_{V} + ap$ и $C = C_{V} + \frac{RT}{V} \frac{dV}{dT}$

Так, $C_{V} + ap = C_{V} + \frac{RT}{V} \frac{dV}{dT} $ и $ap = \frac{RT}{V} \frac{dV}{dT}$

или, $a \frac{RT}{V} = \frac{RT}{V} \frac{dV}{dT}$ (как $p = \frac{RT}{V}$ для одного моля газа)

или, $\frac{dV}{dT} = a$ or, $dV = adT$ or, $dT = \frac{dV}{a}$

Итак, $T = \frac{V}{a} + const$ или $V - aT= const$