Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7096
2018-04-16 
Один моль идеального газа, теплоемкость которого при постоянном давлении равна $C_{p}$, совершает процесс по закону $T = T_{0} + \alpha V$, где $T_{0}$ и $\alpha$ — постоянные. Найти:
а) теплоемкость газа как функцию его объема;
б) сообщенное газу тепло, если его объем увеличился от $V_{1}$ до $V_{2}$.
Решение:
(a) Теплоемкость определяется
$C = C_{V} + \frac{RT}{V} \frac{dV}{dT}$ (см. Решение 7094)
У нас есть $T = T_{0} + \alpha V$ или, $V = \frac{T}{ \alpha} - \frac{T_{0} }{ \alpha}$
После дифференцирования мы получаем, $\frac{dV}{dT} = \frac{1}{ \alpha}$
Cледовательно $C = C_{V} + \frac{RT}{V} \frac{1}{ \alpha} = \frac{R}{ \gamma - 1} + \frac{R(T_{0} + \alpha V ) }{V} \frac{1}{ \alpha} = \frac{R}{ \gamma - 1} + R \left ( \frac{T_{0} }{ \alpha V} + 1 \right ) = \frac{ \gamma R}{ \gamma - 1} + \frac{RT_{0} }{ \alpha V} = C_{V} + \frac{RT}{ \alpha V} = C_{p} + \frac{RT_{0} }{ \alpha V }$
(б) При $T = T_{0} + \alpha V$
Поскольку $T = \frac{pV}{R}$ для одного моля газа
$p = \frac{R}{V} (T_{0} + \alpha V) = \frac{RT}{V} = \alpha R$
Bnfr $A = \int_{V_{1} }^{V_{2} } pdV = \int_{V_{1} }^{V_{2} } \left ( \frac{RT_{0} }{ \nu} + \alpha R \right )dV$ (для одного моля)
$ = RT_{0} ln \frac{V_{2} }{V_{1} } + \alpha (V_{2} - V_{1} )$
$\Delta U = C_{V}(T_{2} - T_{1}) = C_{V} (T_{0} + \alpha V_{2} - T_{0} \alpha V_{1} ) = \alpha C_{V} (V_{2} - V_{1} ) $
В силу первого закона термодинамики $Q = \Delta U + A$
$= \frac{ \alpha R}{ \gamma - 1} (V_{2} - V_{1} ) + RT_{0} ln \frac{V_{2} }{V_{1} } + \alpha R (V_{2} - V_{1}) = \alpha R (V_{2} - V_{1}) \left ( 1 + \frac{1}{ \gamma - 1} \right ) + RT_{0} ln \frac{V_{2} }{V_{1} } = \alpha C_{p} (V_{2} - V_{1} ) + RT_{0} ln \frac{V_{2} }{V_{1} } = \alpha C_{p} (V_{2} - V_{1} ) + RT_{0} ln \frac{V_{2} }{V_{1} }$
Один моль идеального газа, теплоемкость которого при постоянном давлении равна $C_{p}$, совершает процесс по закону $T = T_{0} + \alpha V$, где $T_{0}$ и $\alpha$ — постоянные. Найти:
а) теплоемкость газа как функцию его объема;
б) сообщенное газу тепло, если его объем увеличился от $V_{1}$ до $V_{2}$.
Решение:
(a) Теплоемкость определяется
$C = C_{V} + \frac{RT}{V} \frac{dV}{dT}$ (см. Решение 7094)
У нас есть $T = T_{0} + \alpha V$ или, $V = \frac{T}{ \alpha} - \frac{T_{0} }{ \alpha}$
После дифференцирования мы получаем, $\frac{dV}{dT} = \frac{1}{ \alpha}$
Cледовательно $C = C_{V} + \frac{RT}{V} \frac{1}{ \alpha} = \frac{R}{ \gamma - 1} + \frac{R(T_{0} + \alpha V ) }{V} \frac{1}{ \alpha} = \frac{R}{ \gamma - 1} + R \left ( \frac{T_{0} }{ \alpha V} + 1 \right ) = \frac{ \gamma R}{ \gamma - 1} + \frac{RT_{0} }{ \alpha V} = C_{V} + \frac{RT}{ \alpha V} = C_{p} + \frac{RT_{0} }{ \alpha V }$
(б) При $T = T_{0} + \alpha V$
Поскольку $T = \frac{pV}{R}$ для одного моля газа
$p = \frac{R}{V} (T_{0} + \alpha V) = \frac{RT}{V} = \alpha R$
Bnfr $A = \int_{V_{1} }^{V_{2} } pdV = \int_{V_{1} }^{V_{2} } \left ( \frac{RT_{0} }{ \nu} + \alpha R \right )dV$ (для одного моля)
$ = RT_{0} ln \frac{V_{2} }{V_{1} } + \alpha (V_{2} - V_{1} )$
$\Delta U = C_{V}(T_{2} - T_{1}) = C_{V} (T_{0} + \alpha V_{2} - T_{0} \alpha V_{1} ) = \alpha C_{V} (V_{2} - V_{1} ) $
В силу первого закона термодинамики $Q = \Delta U + A$
$= \frac{ \alpha R}{ \gamma - 1} (V_{2} - V_{1} ) + RT_{0} ln \frac{V_{2} }{V_{1} } + \alpha R (V_{2} - V_{1}) = \alpha R (V_{2} - V_{1}) \left ( 1 + \frac{1}{ \gamma - 1} \right ) + RT_{0} ln \frac{V_{2} }{V_{1} } = \alpha C_{p} (V_{2} - V_{1} ) + RT_{0} ln \frac{V_{2} }{V_{1} } = \alpha C_{p} (V_{2} - V_{1} ) + RT_{0} ln \frac{V_{2} }{V_{1} }$
