Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7095
2018-04-16 
Один моль идеального газа с показателем адиабаты $\gamma$ совершает процесс по закону $p = p_{0} + \alpha /V$, где $p_{0}$ и $\alpha$ — положительные постоянные. Найти:
а) теплоемкость газа как функцию его объема;
б) приращение внутренней энергии газа, совершенную им работу и сообщенное газу тепло, если его объем увеличился от $V_{1}$ до $V_{2}$.
Решение:
Используя задачу 7094
(а) $C = C_{V} + \frac{RT}{V} \frac{dV}{dT} = C_{V} + \frac{pdV}{dT}$ (для онкомолекулярного газа)
Мы имеем $p = p_{0} + \frac{ \alpha }{V}$, или $\frac{RT}{V} = p_{0} + \frac{ \alpha}{V}$, или $RT = p_{0}V + \alpha$
Кроме того, $RdT = p_{0}dV$, So, $\frac{dV}{dT} = \frac{R}{p_{0} }$
Следовательно, $C = C_{V} + \left ( p_{0} + \frac{ \alpha}{V} \right ) \frac{R}{p_{0} } = \frac{R}{ \gamma - 1 } + \left ( 1 + \frac{ \alpha}{p_{0}V } \right ) R = \left ( R + \frac{R}{ \gamma - 1} \right ) + \frac{ \alpha R}{p_{0}V } = \frac{ \gamma R}{ \gamma - 1} + \frac{ \alpha R}{p_{0}V } $
(б) Проделанная работа:
$A = \int_{V_{1} }^{ V_{2}} \left (p_{0} + \frac{ \alpha}{V} \right )dV = p_{0}(V_{2} - V_{1} ) + \alpha ln \frac{V_{2} }{V_{1} }$
$\Delta U = C_{V} (T_{2} - T_{1} ) = C_{V} \left ( \frac{p_{2}V_{2} }{R} - \frac{p_{1}V_{1} }{R} \right )$ (для одного моля)
$= \frac{R}{ ( \gamma - 1)R } (p_{2}V_{2} - p_{1}V_{1} ) = \frac{1}{ \gamma - 1} \left ( (p_{0} + \alpha V_{2} ) V_{2} - \left ( p_{0} + \frac{ \alpha}{ V_{1} } \right ) V_{1} \right ) = \frac{p_{0}(V_{2} - V_{1} ) }{ \gamma - 1} $
По первому закону термодинамики $Q = \Delta U + A$
$= p_{0}(V_{2} - V_{1}) + \alpha ln \frac{V_{2} }{V_{1}} + \frac{p_{0}(V_{2} - V_{1} ) }{ ( \gamma - 1) } = \frac{ \gamma p_{0} (V_{2} - V_{1} ) }{ \gamma - 1} + \alpha ln \frac{V_{2}}{V_{1} }$
Один моль идеального газа с показателем адиабаты $\gamma$ совершает процесс по закону $p = p_{0} + \alpha /V$, где $p_{0}$ и $\alpha$ — положительные постоянные. Найти:
а) теплоемкость газа как функцию его объема;
б) приращение внутренней энергии газа, совершенную им работу и сообщенное газу тепло, если его объем увеличился от $V_{1}$ до $V_{2}$.
Решение:
Используя задачу 7094
(а) $C = C_{V} + \frac{RT}{V} \frac{dV}{dT} = C_{V} + \frac{pdV}{dT}$ (для онкомолекулярного газа)
Мы имеем $p = p_{0} + \frac{ \alpha }{V}$, или $\frac{RT}{V} = p_{0} + \frac{ \alpha}{V}$, или $RT = p_{0}V + \alpha$
Кроме того, $RdT = p_{0}dV$, So, $\frac{dV}{dT} = \frac{R}{p_{0} }$
Следовательно, $C = C_{V} + \left ( p_{0} + \frac{ \alpha}{V} \right ) \frac{R}{p_{0} } = \frac{R}{ \gamma - 1 } + \left ( 1 + \frac{ \alpha}{p_{0}V } \right ) R = \left ( R + \frac{R}{ \gamma - 1} \right ) + \frac{ \alpha R}{p_{0}V } = \frac{ \gamma R}{ \gamma - 1} + \frac{ \alpha R}{p_{0}V } $
(б) Проделанная работа:
$A = \int_{V_{1} }^{ V_{2}} \left (p_{0} + \frac{ \alpha}{V} \right )dV = p_{0}(V_{2} - V_{1} ) + \alpha ln \frac{V_{2} }{V_{1} }$
$\Delta U = C_{V} (T_{2} - T_{1} ) = C_{V} \left ( \frac{p_{2}V_{2} }{R} - \frac{p_{1}V_{1} }{R} \right )$ (для одного моля)
$= \frac{R}{ ( \gamma - 1)R } (p_{2}V_{2} - p_{1}V_{1} ) = \frac{1}{ \gamma - 1} \left ( (p_{0} + \alpha V_{2} ) V_{2} - \left ( p_{0} + \frac{ \alpha}{ V_{1} } \right ) V_{1} \right ) = \frac{p_{0}(V_{2} - V_{1} ) }{ \gamma - 1} $
По первому закону термодинамики $Q = \Delta U + A$
$= p_{0}(V_{2} - V_{1}) + \alpha ln \frac{V_{2} }{V_{1}} + \frac{p_{0}(V_{2} - V_{1} ) }{ ( \gamma - 1) } = \frac{ \gamma p_{0} (V_{2} - V_{1} ) }{ \gamma - 1} + \alpha ln \frac{V_{2}}{V_{1} }$
