ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-04-16   
Имеется идеальный газ, молярная теплоемкость которого при постоянном объеме равна $C_{V}$. Найти молярную теплоемкость этого газа как функцию его объема $V$, если газ совершает процесс по закону:
а) $T = T_{0}e^{ \alpha V}$; б) $p = p_{0}e^{ \alpha V}$,
где $T_{0}, p_{0}$ и $\alpha$ — постоянные.


Решение:


(a) По первому закону термодинамики

$dQ = dU + dA = \nu C_{V}dT + pdV$

Молярная теплоемкость по определению

$C = \frac{dQ}{ \nu dT } = \frac{C_{V} dT + pdV }{ \nu dT} = \frac{ \nu C_{V}dT + \frac{ \nu RT }{V} dT }{ \nu dT} = C_{V} + \frac{RT}{V} \frac{dV}{dT}$,

Дано $T = T_{0}e^{ \alpha V}$

После дифференцирования получаем $dT = \alpha T_{0}e^{ \alpha V} dV$

Итак, $\frac{dV}{dT} = \frac{1}{ \alpha T_{0}e^{ \alpha V} }$,

Следовательно $C = C_{V} + \frac{RT}{V } \frac{1}{ \alpha T_{0}e^{ \alpha V} } = C_{V} + \frac{RT_{0}e^{ \alpha V} }{ \alpha VT_{0} e^{ \alpha \nu} } = C_{V} + \frac{R}{ \alpha V}$

(б) Из условия $p = p_{0}e^{ \alpha V} dV$

$p = \frac{RT}{V} = p_{0}e^{ \alpha V}$

или, $T = \frac{p_{0} }{R} e^{ \alpha V} V$

Итак, $C = C_{V} + \frac{RT}{V} \frac{dV}{dT} = C_{V} + p_{0}e^{ \alpha V} \frac{R}{p_{0}e^{ \alpha V}(1 + \alpha V) } = C_{V} + \frac{R}{1 + \alpha V}$