ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-04-16   
Идеальный газ, показатель адиабаты которого $\gamma$, расширяют так, что сообщаемое газу тепло равно убыли его внутренней энергии. Найти:
а) молярную теплоемкость газа в этом процессе;
б) уравнение процесса в параметрах $T, V$;
в) совершенную молем газа работу при увеличении его объема в $\eta$ раз.


Решение:


(a) $\Delta U = \frac{ \nu R}{ \gamma - 1} \Delta T$ и $Q = \nu C_{n} \Delta T$

где $C_{n}$ - молярная теплоемкость в процессе. Известно, что $Q = - \Delta U$
Итак, $C_{n} \Delta T = \frac{R}{ \gamma - 1} \Delta T$, или $C_{n} = - \frac{R }{ \gamma - 1}$

(б) По первому закону термодинамики $dQ = dU + dA$,
или, $2dQ = dA$ (как $dQ = -dU$)

$2 \nu C_{n} dT = pdV$, или, $\frac{2R \nu}{ \gamma - 1} dT + pdV = 0$

Итак, $\frac{2RV}{ \gamma - 1} dT + \frac{ \nu RT}{V} dV = 0$, или, $\frac{2dT}{( \gamma - 1)T } + \frac{dV}{V} = 0$

или, $\frac{dT}{T} + \frac{ \gamma - 1}{2} \frac{dV}{V} = 0$, или $TV^{ ( \gamma - 1)/2} = const$

(в) Мы знаем, что $C_{n} = \frac{(n - \gamma)R}{(n-1)( \gamma - 1)}$

Но из части (а) имеем $C_{n} = - \frac{R}{ \gamma - 1}$

Таким образом $- \frac{R}{ \gamma - 1} = \frac{(n - \gamma )R}{(n - 1)( \gamma - 1)}$ которое равно $n = \frac{1 + \gamma}{2} $

Из части (б); мы знаем, что $TV^{ ( \gamma - 1)/2} = const$

Итак, $\frac{T_{0} }{T} = \left ( \frac{V}{V_{0} } \right )^{ ( \gamma - 1)/2 } = \eta^{ ( \gamma - 1)/2 }$ где $T$ конечная температура )

Работа, выполняемая газом на один моль, определяется

$A = R \frac{ (T_{0} - T ) }{n-1} = \frac{2RT_{0} [1 - \eta^{ (1 - \gamma )/2 } ] }{ \gamma - 1}$