Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7083
2018-04-16 
Внутри закрытого теплоизолированного цилиндра с идеальным газом находится легкоподвижный теплопроводящий поршень. При равновесии поршень делит цилиндр на две равные части и температура газа равна $T_{0}$. Поршень начали медленно перемещать. Найти температуру газа как функцию отношения $\eta$ объема большей части к объему меньшей Части. Показатель адиабаты газа $\gamma$.
Решение:
Поскольку в задаче поршень медленно перемещается, температура с обеих сторон увеличивается и поддерживается при одном и том же значении.
Элементарная работа, выполняемая внешней силой = Работа, выполняемая при сжатии - Работа выполнена при расширении, т.е. $dA = p_{2}dV - p_{1}dV = (p_{2} - p_{1} )dV$
где $p_{1}$ и $p_{2}$ - давления в любой момент газа на стороне расширения и сжатия соответственно.
Из газового закона $p_{1} (V_{0} + Sx) = \nu RT$ и $p_{2} (V_{0} - Sx) = \nu RT$, для каждой части ($x$ - смещение поршня в направлении части 2)
Итак, $p_{2} - p_{1} = \nu RT \frac{2Sx}{V_{0}^{2} - S^{2}x^{2} } = \nu RT \frac{2V}{V_{0}^{2} - V^{2} }$ ($Sx = V$)
Так что $dA = \nu RT \frac{2V}{V_{0}^{2} - V^{2} } dV$
Кроме того, из первого закона термодинамики
$dA = - dU = -2 \nu \frac{R}{ \gamma - 1} dT$ ($dQ = 0$)
Итак, работа над газом $= - dA = 2 \nu \frac{R}{ \gamma - 1} dT$
Таким образом, $2 \nu \frac{R}{ \gamma - 1} dT = \nu RT \frac{2VdV}{V_{0}^{2} - V^{2} }$,
или $\frac{dT}{T} = \gamma - 1 \frac{VdV}{V_{0}^{2} - V^{2} }$
Когда левая часть в $\eta$ раз превышает объем правой части.
$(V_{0} + V) = \eta (V_{0} - V)$ или $V = \frac{ \eta - 1}{ \eta + 1} V_{0}$
Интегрирую $\int_{T_{0} }^{T} \frac{dT}{T} = ( \gamma - 1) \int_{0}^{V} \frac{VdV}{V_{0}^{2} - V^{2} }$
или $ln \frac{T}{T_{0} } = ( \gamma - 1) \left [ - \frac{1}{2} ln (V_{0}^{2} - V^{2} ) \right ]_{0}^{V} = - \frac{ \gamma -1}{2} [ ln(V_{0}^{2} - V^{2} ) - ln (V_{0}^{2} - V^{2} - ln V_{0}^{2} ] = \frac{ \gamma - 1}{2} \left [ ln V_{0}^{2} - ln V_{0}^{2} \left ( 1 - \left ( \frac{ \eta - 1}{ \eta + 1} \right )^{2} \right ) \right ] = \frac{ \gamma - 1}{2} ln \frac{ ( \eta + 1 )^{2} }{4 \eta} $
Следовательно $T = T_{0} \left ( \frac{( \eta + 1)^{2} }{4 \eta} \right )^{ \frac{ \gamma - 1}{2}}$
Внутри закрытого теплоизолированного цилиндра с идеальным газом находится легкоподвижный теплопроводящий поршень. При равновесии поршень делит цилиндр на две равные части и температура газа равна $T_{0}$. Поршень начали медленно перемещать. Найти температуру газа как функцию отношения $\eta$ объема большей части к объему меньшей Части. Показатель адиабаты газа $\gamma$.
Решение:
Поскольку в задаче поршень медленно перемещается, температура с обеих сторон увеличивается и поддерживается при одном и том же значении.
Элементарная работа, выполняемая внешней силой = Работа, выполняемая при сжатии - Работа выполнена при расширении, т.е. $dA = p_{2}dV - p_{1}dV = (p_{2} - p_{1} )dV$
где $p_{1}$ и $p_{2}$ - давления в любой момент газа на стороне расширения и сжатия соответственно.
Из газового закона $p_{1} (V_{0} + Sx) = \nu RT$ и $p_{2} (V_{0} - Sx) = \nu RT$, для каждой части ($x$ - смещение поршня в направлении части 2)
Итак, $p_{2} - p_{1} = \nu RT \frac{2Sx}{V_{0}^{2} - S^{2}x^{2} } = \nu RT \frac{2V}{V_{0}^{2} - V^{2} }$ ($Sx = V$)
Так что $dA = \nu RT \frac{2V}{V_{0}^{2} - V^{2} } dV$
Кроме того, из первого закона термодинамики
$dA = - dU = -2 \nu \frac{R}{ \gamma - 1} dT$ ($dQ = 0$)
Итак, работа над газом $= - dA = 2 \nu \frac{R}{ \gamma - 1} dT$
Таким образом, $2 \nu \frac{R}{ \gamma - 1} dT = \nu RT \frac{2VdV}{V_{0}^{2} - V^{2} }$,
или $\frac{dT}{T} = \gamma - 1 \frac{VdV}{V_{0}^{2} - V^{2} }$
Когда левая часть в $\eta$ раз превышает объем правой части.
$(V_{0} + V) = \eta (V_{0} - V)$ или $V = \frac{ \eta - 1}{ \eta + 1} V_{0}$
Интегрирую $\int_{T_{0} }^{T} \frac{dT}{T} = ( \gamma - 1) \int_{0}^{V} \frac{VdV}{V_{0}^{2} - V^{2} }$
или $ln \frac{T}{T_{0} } = ( \gamma - 1) \left [ - \frac{1}{2} ln (V_{0}^{2} - V^{2} ) \right ]_{0}^{V} = - \frac{ \gamma -1}{2} [ ln(V_{0}^{2} - V^{2} ) - ln (V_{0}^{2} - V^{2} - ln V_{0}^{2} ] = \frac{ \gamma - 1}{2} \left [ ln V_{0}^{2} - ln V_{0}^{2} \left ( 1 - \left ( \frac{ \eta - 1}{ \eta + 1} \right )^{2} \right ) \right ] = \frac{ \gamma - 1}{2} ln \frac{ ( \eta + 1 )^{2} }{4 \eta} $
Следовательно $T = T_{0} \left ( \frac{( \eta + 1)^{2} }{4 \eta} \right )^{ \frac{ \gamma - 1}{2}}$
