Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7078
2018-04-16 
Внутри закрытого с обоих концов горизонтального цилиндра находится легкоподвижный поршень. Первоначально поршень делит цилиндр на две равные части, каждая объемом $V_{0}$, в которых находится идеальный газ одинаковой температуры и под одним и тем же давлением $p_{0}$. Какую работу необходимо совершить, чтобы, медленно двигая поршень, изотермически увеличить объем одной части газа в $\eta$ раз по сравнению с объемом другой части?
Решение:
Пусть сила переместить поршень вправо на $x$. В равновесном положении
$p_{1}S + F_{agent} = p_{2}S$, 0r, $F_{agent} = (p_{2} - p_{1} ) S$
Работа, выполняемая силой в бесконечно малом изменении $dx$,
$F_{agent} dx = (p_{2} - p_{1}) Sdx = (p_{2} - p_{1}) dV$.
Учитывая $pV = const$ для двух частей,
$p_{1} (V + Sx) = p_{0} V_{0}$ и $p_{2} (V_{0} - Sx) = p_{0} V_{0}$
Итак, $p_{2} - p_{1} = \frac{p_{0}V_{0}2Sx }{V_{0}^{2} - S^{2}x^{2} } = \frac{2p_{0}V_{0}V }{V_{0}^{2} - V^{2} }$ ($Sx = V$)
Когда объем левой части в $\eta$ раз больше объема правой части
$(V_{0} + V) = \eta (V_{0} - V)$, или, $V = \frac{ \eta - 1}{ \eta + 1} V_{0}$
$A = \int_{0}^{V} (p_{2} - p_{1} )dV = \int_{0}^{V} \frac{2p_{0}V_{0}V }{V_{0}^{2} - V^{2} } dV = - p_{0}V_{0} [ln(V_{0}^{2} - V^{2} ) ]_{0}^{V} = - p_{0}V_{0} [ ln (V_{0}^{2} - V^{2} ) - ln V_{0}^{2} ] = - p_{0}V_{0} \left [ ln \left ( V_{0}^{2} - \left ( \frac{ \eta - 1}{ ( \eta + 1)^{2} } \right ) V_{0}^{2} \right ) - ln V_{0}^{2} \right ] = - p_{0}V_{0} \left ( ln \frac{2 \eta}{ ( \eta + 1)^{2} } \right ) = p_{0}V_{0} ln \frac{ ( \eta + 1)^{2} }{4 \eta }$
Внутри закрытого с обоих концов горизонтального цилиндра находится легкоподвижный поршень. Первоначально поршень делит цилиндр на две равные части, каждая объемом $V_{0}$, в которых находится идеальный газ одинаковой температуры и под одним и тем же давлением $p_{0}$. Какую работу необходимо совершить, чтобы, медленно двигая поршень, изотермически увеличить объем одной части газа в $\eta$ раз по сравнению с объемом другой части?
Решение:
Пусть сила переместить поршень вправо на $x$. В равновесном положении
$p_{1}S + F_{agent} = p_{2}S$, 0r, $F_{agent} = (p_{2} - p_{1} ) S$
Работа, выполняемая силой в бесконечно малом изменении $dx$,
$F_{agent} dx = (p_{2} - p_{1}) Sdx = (p_{2} - p_{1}) dV$.
Учитывая $pV = const$ для двух частей,
$p_{1} (V + Sx) = p_{0} V_{0}$ и $p_{2} (V_{0} - Sx) = p_{0} V_{0}$
Итак, $p_{2} - p_{1} = \frac{p_{0}V_{0}2Sx }{V_{0}^{2} - S^{2}x^{2} } = \frac{2p_{0}V_{0}V }{V_{0}^{2} - V^{2} }$ ($Sx = V$)
Когда объем левой части в $\eta$ раз больше объема правой части
$(V_{0} + V) = \eta (V_{0} - V)$, или, $V = \frac{ \eta - 1}{ \eta + 1} V_{0}$
$A = \int_{0}^{V} (p_{2} - p_{1} )dV = \int_{0}^{V} \frac{2p_{0}V_{0}V }{V_{0}^{2} - V^{2} } dV = - p_{0}V_{0} [ln(V_{0}^{2} - V^{2} ) ]_{0}^{V} = - p_{0}V_{0} [ ln (V_{0}^{2} - V^{2} ) - ln V_{0}^{2} ] = - p_{0}V_{0} \left [ ln \left ( V_{0}^{2} - \left ( \frac{ \eta - 1}{ ( \eta + 1)^{2} } \right ) V_{0}^{2} \right ) - ln V_{0}^{2} \right ] = - p_{0}V_{0} \left ( ln \frac{2 \eta}{ ( \eta + 1)^{2} } \right ) = p_{0}V_{0} ln \frac{ ( \eta + 1)^{2} }{4 \eta }$
