Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7070
2018-04-16 
Два теплоизолированных баллона 1 и 2 наполнены воздухом и соединены короткой трубкой с краном. Известны объемы баллонов, а также давление и температура воздуха в них ($V_{1}, p_{1}, T_{1}$ и $V_{2}, p_{2}, T_{2}$). Найти температуру и давление воздуха, которые установятся после открытия крана.
Решение:
При открытии клапана воздух будет течь из сосуда с более высоком давлении в сосуд с более низким давлением, пока оба сосуда не будут иметь одинаковое давление воздуха. Если это давление воздуха равно $P$, общий объем воздуха в двух сосудах будет $(V_{1}+ V_{2})$. Также, если $\nu_{1}$ и $\nu_{2}$ - количество молей воздуха первоначально в двух сосудах, получаем
$p_{1} V_{1} = \nu_{1} RT_{1}$ и $p_{2} V_{2} = \nu_{2}RT_{2}$ (1)
После смешивания воздуха общее число молей равно ($\nu_{1} + \nu_{2}$), а смесь находится при температуре $T$.
Следовательно, $p (V_{1} + V_{2}) = ( \nu_{1} + \nu_{2}) RT$ (2)
Давайте рассмотрим две части воздуха как единую систему. Поскольку эта система содержится в теплоизолированном сосуде, теплообмен в этом процессе нет. То есть общий перенос тепла для комбинированной системы $Q = 0$
Более того, эта комбинированная система также не выполняет механическую работу. Стены контейнеров жесткие, нет поршней которые нужно выталкивать, так что $A = 0$.
Следовательно, внутренняя энергия комбинированной системы не изменяется в процессе. Первоначально энергия комбинированной системы равна сумме внутренних энергий двух частей воздуха:
$U_{нач} = U_{1} + U_{2} = \frac{ \nu_{1}RT_{1} }{ \gamma - 1} + \frac{ \nu_{2}RT_{2} }{ \gamma - 1}$ (3)
Конечная внутренняя энергия $(n_{1} + n_{2})$ молей воздуха при температуре $T$ дается выражением
$U_{кон} = \frac{( \nu_{1} + \nu_{2}) RT}{ \gamma - 1}$ (4)
Следовательно, $U_{нач} = U_{кон}$ и влечет за собой
$T = \frac{ \nu_{1}T_{1} + \nu_{2}T_{2} }{ \nu_{1} + \nu_{2} } = \frac{p_{1}V_{1} + p_{2}V_{2} }{(p_{1}V_{1}/ T_{1} ) + (p_{2}V_{2}/T_{2} ) } = T_{1}T_{2} \frac{p_{1}V_{1} + p_{2}V_{2} }{p_{1}V_{1}T_{2} + p_{2}V_{2}T_{2} }$
Следовательно, из (2) конечное давление равно:
$p = \frac{ \nu_{1} + \nu_{2} }{V_{1} + V_{2} } RT= \frac{R}{V_{1} + V_{2} } ( \nu_{1}T_{1} + \nu_{2}T_{2} ) = \frac{p_{1}V_{1} + p_{2}V_{2} }{V_{1} + V_{2} }$
Пример такого процесса - свободное адиабатическое расширение идеального газа.
Два теплоизолированных баллона 1 и 2 наполнены воздухом и соединены короткой трубкой с краном. Известны объемы баллонов, а также давление и температура воздуха в них ($V_{1}, p_{1}, T_{1}$ и $V_{2}, p_{2}, T_{2}$). Найти температуру и давление воздуха, которые установятся после открытия крана.
Решение:
При открытии клапана воздух будет течь из сосуда с более высоком давлении в сосуд с более низким давлением, пока оба сосуда не будут иметь одинаковое давление воздуха. Если это давление воздуха равно $P$, общий объем воздуха в двух сосудах будет $(V_{1}+ V_{2})$. Также, если $\nu_{1}$ и $\nu_{2}$ - количество молей воздуха первоначально в двух сосудах, получаем
$p_{1} V_{1} = \nu_{1} RT_{1}$ и $p_{2} V_{2} = \nu_{2}RT_{2}$ (1)
После смешивания воздуха общее число молей равно ($\nu_{1} + \nu_{2}$), а смесь находится при температуре $T$.
Следовательно, $p (V_{1} + V_{2}) = ( \nu_{1} + \nu_{2}) RT$ (2)
Давайте рассмотрим две части воздуха как единую систему. Поскольку эта система содержится в теплоизолированном сосуде, теплообмен в этом процессе нет. То есть общий перенос тепла для комбинированной системы $Q = 0$
Более того, эта комбинированная система также не выполняет механическую работу. Стены контейнеров жесткие, нет поршней которые нужно выталкивать, так что $A = 0$.
Следовательно, внутренняя энергия комбинированной системы не изменяется в процессе. Первоначально энергия комбинированной системы равна сумме внутренних энергий двух частей воздуха:
$U_{нач} = U_{1} + U_{2} = \frac{ \nu_{1}RT_{1} }{ \gamma - 1} + \frac{ \nu_{2}RT_{2} }{ \gamma - 1}$ (3)
Конечная внутренняя энергия $(n_{1} + n_{2})$ молей воздуха при температуре $T$ дается выражением
$U_{кон} = \frac{( \nu_{1} + \nu_{2}) RT}{ \gamma - 1}$ (4)
Следовательно, $U_{нач} = U_{кон}$ и влечет за собой
$T = \frac{ \nu_{1}T_{1} + \nu_{2}T_{2} }{ \nu_{1} + \nu_{2} } = \frac{p_{1}V_{1} + p_{2}V_{2} }{(p_{1}V_{1}/ T_{1} ) + (p_{2}V_{2}/T_{2} ) } = T_{1}T_{2} \frac{p_{1}V_{1} + p_{2}V_{2} }{p_{1}V_{1}T_{2} + p_{2}V_{2}T_{2} }$
Следовательно, из (2) конечное давление равно:
$p = \frac{ \nu_{1} + \nu_{2} }{V_{1} + V_{2} } RT= \frac{R}{V_{1} + V_{2} } ( \nu_{1}T_{1} + \nu_{2}T_{2} ) = \frac{p_{1}V_{1} + p_{2}V_{2} }{V_{1} + V_{2} }$
Пример такого процесса - свободное адиабатическое расширение идеального газа.
