ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-04-16   
Идеальный газ с молярной массой $M$ находится в однородном поле тяжести, ускорение свободного падения в котором равно $g$. Найти давление газа как функцию высоты $h$, если при $h = 0$ давление $p = p_{0}$, а температура изменяется с высотой как
а) $T = T_{0} (1 - ah)$; б) $T = T_{0} (1 + ah)$, где $a$ — положительная постоянная.


Решение:


(а) Мы знаем, что изменение давления с высотой жидкости определяется следующим образом:

$dp = - \rho g dh$

Но из закона Менделеева $p = \frac{ \rho}{M} RT$ или $\rho = \frac{pM}{RT}$

Из этих двух уравнений

$dp = - \frac{pMg}{RT} dh$ (1)

или $\frac{dp}{p} = \frac{ - Mgdh}{RT_{0}(1 - ah) }$

Интегрирование, $\int_{p_{0} }^{p} \frac{dp}{p} = - \frac{-Mg}{RT_{0} } \int_{0}^{h} \frac{dh}{(1-ah)}$, дает

$ln \frac{p}{p_{0} } = ln (1 - ah)^{Mg/ aRT_{0} }$

Следовательно, $p = p_{0} (1 - ah)^{Mg / aRT_{0} }$. Очевидно $h < \frac{1}{a}$

(б) Используя уравнение (1) из части (a), и положив $T = T_{0} (1 + ah)$ получаем

$p = \frac{p_{0} }{ (1 + ah)^{Mg/aRT_{0} } }$