ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-04-16   
Считая, что температура и молярная масса воздуха, а также ускорение свободного падения не зависят от высоты, найти разность высот, на которых плотности воздуха при температуре $0^{ \circ} С$ отличаются:
а) в $e$ раз; б) на $\eta = 1,0$%.


Решение:


Мы имеем $dp = - \rho g dh$, но из $p = \frac{ \rho}{M} RT$,
таким образом $dp = \frac{d \rho}{M} RT$ при постоянной температурой

Итак, $\frac{d \rho}{ \rho} = \frac{gM}{RT} dh$

Интегрирование в пределах дает $\int_{ \rho_{0} }^{ \rho} \frac{d \rho}{ \rho} = \int_{0}^{h} \frac{gM}{RT} dh$
или, $ln \frac{ \rho}{ \rho_{0} } = - \frac{gM}{RT} h$

Итак, $\rho = \rho_{0} e^{ - MghRT}$ и $h = - \frac{RT}{Mg} ln \frac{ \rho}{ \rho_{0} }$

(a) При $T = 273^{ \circ} К, \frac{ \rho_{0} }{ \rho} = e$
Таким образом $h = - \frac{RT}{Mg} ln e^{-1} = 8 км$.

(б) $T = 273^{ \circ} К$ и

$\frac{ \rho_{0} - \rho }{ \rho_{0} } = 0,01$ или $\frac{ \rho}{ \rho_{0} } = 0,99$

Таким образом $h = - \frac{RT}{Mg} ln \frac{ \rho}{ \rho_{0} } = 0,09 км$ при подстановке