ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-04-16   
Найти максимально возможную температуру идеального газа в каждом из нижеследующих процессов:
а) $p = p_{0} - \alpha V^{2}$; б) $p = p_{0} e^{ - \beta V}$,
где $p_{0}, \alpha$ и $\beta$ — положительные постоянные, $V$ — объем одного моля газа.


Решение:


(a) $p = p_{0} - \alpha V^{2} = p_{0} - \alpha \left ( \frac{RT}{p} \right )^{2}$ (так как, $V = RT/p$ для одного моля газа)

Таким образом, $T = \frac{1}{R \sqrt{ \alpha} } p \sqrt{p_{0} - p } = \frac{1}{R \sqrt{ \alpha } } \sqrt{ p_{0}p^{2} - p^{3} }$ (1)

Для $T_{max}, \frac{d(p_{0}p^{2} - p^{3} ) }{dp}$ должно быть равным нулю
что дает, $p = \frac{2}{3} p_{0}$ (2)

Следовательно, $T_{max} = \frac{1}{R \sqrt{ \alpha} } \frac{2}{3} p_{0} \sqrt{p_{0} - \frac{2}{3}p_{0} } = \frac{2}{3} \left ( \frac{p_{0} }{R} \right ) \sqrt{ \frac{p_{0} }{3 \alpha} }$

(б) $p = p_{0} e^{ - \beta V} = p_{0}e^{ - \beta RT/p }$

$\frac{ \beta RT}{p} = ln \frac{p_{0} }{p}$, $T = \frac{p}{ \beta R} ln \frac{p_{0} }{p}$ (1)

Для $T_{max}$ условие равно $\frac{dT}{dp} = 0$, что дает

$p = \frac{p_{0} }{e}$

Следовательно, используя это значение $p$ в уравнении (1), получаем

$T_{max} = \frac{p_{0} }{e \beta R}$