ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-04-16   
Поршневым воздушным насосом откачивают сосуд объемом $V$. За один цикл (ход поршня) насос захватывает объем $\Delta V$. Сколько следует сделать циклов, чтобы давление в сосуде уменьшилось в $\eta$ раз? Процесс считать изотермическим, газ — идеальным.


Решение:


Пусть $\rho_{1}$ - плотность после первого такта. Масса остается постоянной

$V \rho = (V + \Delta V) \rho_{1}$, или, $\rho_{1} = \frac{V \rho}{ V + \Delta V }$

Аналогично, если $\rho_{2}$ - плотность после второго такта

$V \rho_{1} = (V + \Delta V) \rho_{2}$ или, $\rho_{2} = \left ( \frac{V}{V + \Delta V } \right ) \rho_{1} = \left ( \frac{V}{V + \Delta V } \right )^{2} \rho_{0}$.

Таким образом, после $n$- тактая

$\rho_{n} = \left ( \frac{V}{V + \Delta V } \right )^{n} \rho_{0}$

Поскольку давление пропорционально плотности

$p_{n} = \left ( \frac{V}{V + \Delta V } \right )^{ n} p_{0}$ (Температура постоянна)

Так как отношение $\frac{p_{n} }{p_{0} }$ равно $\frac{1}{ \eta}$

Итак, $\frac{1}{ \eta} = \left ( \frac{V}{V + \Delta V } \right )^{ n}$ или, $\eta = \left ( \frac{V + \Delta V }{V} \right )^{ n}$

Следовательно $n = \frac{ln \eta}{ ln \left ( 1 + \frac{ \Delta V}{V} \right ) }$