Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7048
2018-04-16 
В вертикальном закрытом с обоих торцов цилиндре находится легкоподвижный поршень, по обе стороны которого — по одному молю воздуха. В равновесном состоянии при температуре $T_{0} = 300 К$ объем верхней части цилиндра в $\eta = 4,0$ раза больше объема нижней части. При какой температуре отношение этих объемов станет $\eta^{ \prime} = 3,0$?
Решение:
Пусть $p_{1}$ и $p_{2}$ - давление в верхней и нижней части цилиндра соответственно при температуре $T_{0}$. В положении равновесия для поршня:
$p_{1} S + mg = p_{2} S$ или, $p_{1} + \frac{mg}{S} = p_{2}$ ($m$ - масса поршня).
Но $p_{1} = \frac{RT_{0} }{ \eta V_{0} }$ (где начальный объем нижней части)
Итак, $\frac{RT_{0} }{ \eta V_{0} } + \frac{mg}{S} = \frac{RT_{0} }{V_{0} }$, $ \frac{mg}{S} = \frac{RT_{0} }{V_{0} } \left ( 1 - \frac{1}{ \eta} \right )$ (1)
Пусть $T^{ \prime} $ - искомая температура, и при этой температуре объем нижней части становится $V^{ \prime}$, то согласно условию задачи объем верхней части становится $\eta^{ \prime} V^{ \prime}$
Следовательно, $\frac{mg}{S} = \frac{RT}{V^{ \prime} } \left ( 1 - \frac{1}{ \eta^{ \prime} } \right )$ (2)
Из (1) и (2).
$\frac{RT_{0} }{V_{0} } \left ( 1 - \frac{1}{ \eta} \right ) = \frac{RT^{ \prime} }{V^{ \prime}} \left ( 1 - \frac{1 }{ \eta^{ \prime} } \right )$ или, $T^{ \prime} = \frac{T_{0} \left ( 1 - \frac{1}{ \eta} \right )V^{ \prime} }{V_{0} \left ( 1 - \frac{1}{ \eta^{ \prime} } \right ) }$
Так как общий объем должен быть постоянным,
$V_{0} (1 + \eta) = V^{ \prime}(1 + \eta^{ \prime})$ или, $V^{ \prime} = \frac{V_{0}(1 + \eta) }{ (1 + \eta^{ \prime} ) }$.
Полагая значение $V^{ \prime}$ в уравнении (3), получаем
$T^{ \prime} = \frac{T_{0} \left (1 - \frac{1}{ \eta} \right ) V_{0} \frac{1 + \eta}{1 + \eta^{ \prime} } }{V_{0} \left ( 1 - \frac{1}{ \eta^{ \prime} } \right ) } = \frac{T_{0} ( \eta^{2} - 1 ) \eta^{ \prime} }{ ( \eta^{ \prime 2} - 1 ) \eta } = 0,42 кК$.
В вертикальном закрытом с обоих торцов цилиндре находится легкоподвижный поршень, по обе стороны которого — по одному молю воздуха. В равновесном состоянии при температуре $T_{0} = 300 К$ объем верхней части цилиндра в $\eta = 4,0$ раза больше объема нижней части. При какой температуре отношение этих объемов станет $\eta^{ \prime} = 3,0$?
Решение:
Пусть $p_{1}$ и $p_{2}$ - давление в верхней и нижней части цилиндра соответственно при температуре $T_{0}$. В положении равновесия для поршня:
$p_{1} S + mg = p_{2} S$ или, $p_{1} + \frac{mg}{S} = p_{2}$ ($m$ - масса поршня).
Но $p_{1} = \frac{RT_{0} }{ \eta V_{0} }$ (где начальный объем нижней части)
Итак, $\frac{RT_{0} }{ \eta V_{0} } + \frac{mg}{S} = \frac{RT_{0} }{V_{0} }$, $ \frac{mg}{S} = \frac{RT_{0} }{V_{0} } \left ( 1 - \frac{1}{ \eta} \right )$ (1)
Пусть $T^{ \prime} $ - искомая температура, и при этой температуре объем нижней части становится $V^{ \prime}$, то согласно условию задачи объем верхней части становится $\eta^{ \prime} V^{ \prime}$
Следовательно, $\frac{mg}{S} = \frac{RT}{V^{ \prime} } \left ( 1 - \frac{1}{ \eta^{ \prime} } \right )$ (2)
Из (1) и (2).
$\frac{RT_{0} }{V_{0} } \left ( 1 - \frac{1}{ \eta} \right ) = \frac{RT^{ \prime} }{V^{ \prime}} \left ( 1 - \frac{1 }{ \eta^{ \prime} } \right )$ или, $T^{ \prime} = \frac{T_{0} \left ( 1 - \frac{1}{ \eta} \right )V^{ \prime} }{V_{0} \left ( 1 - \frac{1}{ \eta^{ \prime} } \right ) }$
Так как общий объем должен быть постоянным,
$V_{0} (1 + \eta) = V^{ \prime}(1 + \eta^{ \prime})$ или, $V^{ \prime} = \frac{V_{0}(1 + \eta) }{ (1 + \eta^{ \prime} ) }$.
Полагая значение $V^{ \prime}$ в уравнении (3), получаем
$T^{ \prime} = \frac{T_{0} \left (1 - \frac{1}{ \eta} \right ) V_{0} \frac{1 + \eta}{1 + \eta^{ \prime} } }{V_{0} \left ( 1 - \frac{1}{ \eta^{ \prime} } \right ) } = \frac{T_{0} ( \eta^{2} - 1 ) \eta^{ \prime} }{ ( \eta^{ \prime 2} - 1 ) \eta } = 0,42 кК$.
