Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 704
2014-06-01 
Две длинные цилиндрические катушки с равномерной намоткой одинаковой длины и почти одинакового радиуса имеют индуктивности $L_{1}$ и $L_{2}$. Их вставили друг в друга (соосно) и присоединили к цепи так. как показано на рис. Направление тока в цепи и в витках катушек показано стрелками. Найдите индуктивность $L$ такой составной катушки.
Решение:
Пусть $N_{1}$ - число витков катушки с индуктивностью $L_{1}, N_{2}$ - число витков катушки с индуктивностью $L_{2}$. Заметим, что составную катушку, индуктивность $L$ которой мы ищем, можно рассматривать как катушку с числом витков $N = N_{l}+N_{2}$. Если знать связь между индуктивностью и числом витков, то тогда можно выразить $L$ через $L_{1}$ и $L_{2}$. Для данных геометрических размеров катушки такая связь действительно должна существовать, потому что индуктивность определяется только геометрическими размерами и числом витков катушки (имеются в виду длинные цилиндрические катушки с равномерной намоткой).Найдем эту связь.
Из принципа суперпозиции для магнитного поля следует, что магнитное поле, создаваемое током $I$ в катушке данных размеров, пропорционально числу витков в ней. Действительно, удвоение числа витков в катушке можно рассматривать как замену каждого витка на два новых, близко расположенных. Эти два витка дадут вдвое большее поле, чем один виток, так как ноля от двух витков складываются. Таким образом, поле в катушке при удвоении числа витков увеличивается вдвое. Итак $B \sim N$ ($B$ - магнитная индукция, ток фиксирован). Заметим, что магнитный поток, охватываемый витками катушки, равен
$\Phi = BNS \sim BN \sim N^{2}$.
Осталось учесть, что
$L = \Phi/I \sim N^{2}$.
Таким образом, мы получили, что $L = kN^{2}$ при данной геометрии. Дальше учтем, что $N_{1} =\sqrt{L_{1}/k}, N_{2}=\sqrt{L_{2}/k}$, поэтому $L =k(N_{1} + N_{2})^{2}$. Следовательно.
$L=L_{1} + L_{2}+ 2 \sqrt{L_{1}L_{2}}$.
Две длинные цилиндрические катушки с равномерной намоткой одинаковой длины и почти одинакового радиуса имеют индуктивности $L_{1}$ и $L_{2}$. Их вставили друг в друга (соосно) и присоединили к цепи так. как показано на рис. Направление тока в цепи и в витках катушек показано стрелками. Найдите индуктивность $L$ такой составной катушки.
Решение:
Пусть $N_{1}$ - число витков катушки с индуктивностью $L_{1}, N_{2}$ - число витков катушки с индуктивностью $L_{2}$. Заметим, что составную катушку, индуктивность $L$ которой мы ищем, можно рассматривать как катушку с числом витков $N = N_{l}+N_{2}$. Если знать связь между индуктивностью и числом витков, то тогда можно выразить $L$ через $L_{1}$ и $L_{2}$. Для данных геометрических размеров катушки такая связь действительно должна существовать, потому что индуктивность определяется только геометрическими размерами и числом витков катушки (имеются в виду длинные цилиндрические катушки с равномерной намоткой).Найдем эту связь.
Из принципа суперпозиции для магнитного поля следует, что магнитное поле, создаваемое током $I$ в катушке данных размеров, пропорционально числу витков в ней. Действительно, удвоение числа витков в катушке можно рассматривать как замену каждого витка на два новых, близко расположенных. Эти два витка дадут вдвое большее поле, чем один виток, так как ноля от двух витков складываются. Таким образом, поле в катушке при удвоении числа витков увеличивается вдвое. Итак $B \sim N$ ($B$ - магнитная индукция, ток фиксирован). Заметим, что магнитный поток, охватываемый витками катушки, равен
$\Phi = BNS \sim BN \sim N^{2}$.
Осталось учесть, что
$L = \Phi/I \sim N^{2}$.
Таким образом, мы получили, что $L = kN^{2}$ при данной геометрии. Дальше учтем, что $N_{1} =\sqrt{L_{1}/k}, N_{2}=\sqrt{L_{2}/k}$, поэтому $L =k(N_{1} + N_{2})^{2}$. Следовательно.
$L=L_{1} + L_{2}+ 2 \sqrt{L_{1}L_{2}}$.
