ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-04-07   
Небольшая шайба массой $m$ скатывается с вершины гладкой горки массой $M$ и высотой $H$. Горка находится на гладкой поверхности. На какой высоте $h$ над поверхностью должен находиться нижний горизонтальный участок горки для того, чтобы шайба упала на поверхность на максимальном расстоянии от точки поверхности, над которой произошел отрыв? Чему равно это расстояние, если $m : M = 19 : 81$, а высота горки $H = 1 м$?



Решение:


Поскольку все поверхности гладкие, то выполняется закон сохранения энергии.

$mgH = mgh + m \frac{v^{2} }{2} + M \frac{u^{2} }{2}$,

где $v$ - скорость шайбы в момент отрыва, а $u$ - скорость горки. Из закона сохранения импульса:

$mv = Mu$

Рассмотрим полет шайбы после покидания поверхности горки. Поскольку она вылетает горизонтально, то время полета $t_{п} = \sqrt{ \frac{2h}{g} }$, а дальность полета $L = vt_{п} = v \sqrt{ \frac{2h}{g} }$. Выражая из законов сохранения $u$ и $v$ находим $L$:

$u = v \frac{m}{M}v$
$mgH = mgh + m \frac{v^{2} }{2} + M \frac{ \left ( \frac{m}{M}v \right )^{2} }{2} = mgh + m \frac{v^{2} }{2} \left (1 + \frac{m}{M} \right )$
$v^{2} = 2g \frac{Н - h}{1 + \frac{m}{M} }$
$v = \sqrt{ \frac{2Mg(H - h) }{M + m} }$
$L = 2 \sqrt{ h(H - h) \frac{M}{M + m} }$

Как видно, выражение для $L$ принимает максимальное значение при $h = H/2$.

$L_{max} = H \sqrt{ \frac{M}{M + m} } = 0,9H = 0,9 м$.