Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 702
2014-06-01 
Квадратная недеформируемая сверх проводящая рамка массой $m$ со стороной $a$ расположена горизонтально и находится в неоднородном магнитном поле, индукция которого меняется в пространстве по закону $B_{x} = - \alpha x, B_{y} = 0, B_{z} = \alpha z +B_{0}$ (рис.). Индуктивность рамки равна $L$. В начальный момент времени центр рамки совпадает с началом координат О, а стороны параллельны осям $x$ и $y$. Ток в рамке в этот момент равен нулю. Рамку отпускают.
Как она будет двигаться и где окажется спустя время $t$ после начала движения?
Решение:
Магнитный поток, пронизывающий площадку, ограниченную сверхпроводящим контуром, постоянен. Действительно, $\Delta \Phi / \Delta t = \mathcal{E}$ но $\mathcal{E} = IR = 0$ (поскольку $R = 0$), следовательно, $\Phi = const$.
Магнитный поток через площадку, ограниченную контуром, складывается из потока внешнего магнитного поля и потока магнитного поля, создаваемого током $I$, текущим через контур. Таким образом, магнитный поток, пронизывающий рамку, в любой момент времени равен
$\Phi = a^{2}B_{0} + a^{2} \alpha z + LI$.
Так как в начальный момент ($z = 0, I = 0) \Phi = B_{0} a^{2}$, в любой другой момент времени сила тока $I$ будет определяться соотношением
$LI = - \alpha z a^{2}, I = - \alpha z a^{2}/L$.
Результирующая сила, действующая со стороны магнитного поля на рамку с током $I$, равна сумме сил, действующих на те стороны рамки, которые параллельны оси у, т. е.
$F= 2a |\alpha x| I = a^{2} \alpha I$,
и направлена вдоль оси $z$.
Таким образом, уравнение движения рамки имеет вид
$m \overset{\cdot \cdot} z = -mg + a^{2} \alpha I = - mg – a^{4} \alpha^{2} z /L$.
Это уравнение аналогично уравнению колебаний тела массой $m$, подвешенного на пружине жесткостью $k = a^{2} \alpha^{2}/L$:
$ m \overset{\cdot \cdot} z = -mg -kz$.
Из згой аналогии ясно, что рамка будет совершать гармонические колебания вдоль оси г около положения равновесия, определяемого из условия
$\frac{a^{4} \alpha^{2}}{L} z_{0} = -mg, z_{0}= - \frac{mgL}{a^{2} \alpha^{2}}$.
Частота этил колебаний рамки будет равна
$\omega = \frac{a^{2} \alpha}{\sqrt{Lm}}$
Координата рамки через время $t$ после начала движения равна
$z = \frac{mgL}{a^{2} \alpha^{2}} \left [ -1 + \cos \left ( \frac{a^{2} \alpha}{\sqrt{Lm}} t \right ) \right ]$
Квадратная недеформируемая сверх проводящая рамка массой $m$ со стороной $a$ расположена горизонтально и находится в неоднородном магнитном поле, индукция которого меняется в пространстве по закону $B_{x} = - \alpha x, B_{y} = 0, B_{z} = \alpha z +B_{0}$ (рис.). Индуктивность рамки равна $L$. В начальный момент времени центр рамки совпадает с началом координат О, а стороны параллельны осям $x$ и $y$. Ток в рамке в этот момент равен нулю. Рамку отпускают.
Как она будет двигаться и где окажется спустя время $t$ после начала движения?
Решение:
Магнитный поток, пронизывающий площадку, ограниченную сверхпроводящим контуром, постоянен. Действительно, $\Delta \Phi / \Delta t = \mathcal{E}$ но $\mathcal{E} = IR = 0$ (поскольку $R = 0$), следовательно, $\Phi = const$.
Магнитный поток через площадку, ограниченную контуром, складывается из потока внешнего магнитного поля и потока магнитного поля, создаваемого током $I$, текущим через контур. Таким образом, магнитный поток, пронизывающий рамку, в любой момент времени равен
$\Phi = a^{2}B_{0} + a^{2} \alpha z + LI$.
Так как в начальный момент ($z = 0, I = 0) \Phi = B_{0} a^{2}$, в любой другой момент времени сила тока $I$ будет определяться соотношением
$LI = - \alpha z a^{2}, I = - \alpha z a^{2}/L$.
Результирующая сила, действующая со стороны магнитного поля на рамку с током $I$, равна сумме сил, действующих на те стороны рамки, которые параллельны оси у, т. е.
$F= 2a |\alpha x| I = a^{2} \alpha I$,
и направлена вдоль оси $z$.
Таким образом, уравнение движения рамки имеет вид
$m \overset{\cdot \cdot} z = -mg + a^{2} \alpha I = - mg – a^{4} \alpha^{2} z /L$.
Это уравнение аналогично уравнению колебаний тела массой $m$, подвешенного на пружине жесткостью $k = a^{2} \alpha^{2}/L$:
$ m \overset{\cdot \cdot} z = -mg -kz$.
Из згой аналогии ясно, что рамка будет совершать гармонические колебания вдоль оси г около положения равновесия, определяемого из условия
$\frac{a^{4} \alpha^{2}}{L} z_{0} = -mg, z_{0}= - \frac{mgL}{a^{2} \alpha^{2}}$.
Частота этил колебаний рамки будет равна
$\omega = \frac{a^{2} \alpha}{\sqrt{Lm}}$
Координата рамки через время $t$ после начала движения равна
$z = \frac{mgL}{a^{2} \alpha^{2}} \left [ -1 + \cos \left ( \frac{a^{2} \alpha}{\sqrt{Lm}} t \right ) \right ]$
