Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7017
2018-04-07 
Резистор изготавливают из непроводящего керамического цилиндра длиной $l = 1 см$ и диаметром $d = 2 мм$, на который наносят тонкое проводящее покрытие и затем прорезают его тонкой спиральной непроводящей канавкой, а на торцы цилиндра напрессовывают контакты. Если канавку не прорезать, то получится резистор сопротивлением $R_{0} = 1 Ом$. Сколько витков должна иметь равномерная спиральная канавка, чтобы резистор имел сопротивление $R = 160 Ом$? Шириной канавки и вкладом приконтактных областей малого размера пренебречь. Ответ округлить до целого.
Решение:
Без прорезанной канавки развёртка проводящего покрытия представляет собой прямоугольник длиной $l$ и шириной $\pi d$. Толщину покрытия обозначим буквой $\delta$. Сопротивление такого резистора равно
$R_{0} = \rho \frac{l}{ \delta ( \pi d) }$, (1)
где $\rho$ — удельное сопротивление покрытия. Развёртка покрытия после прорезания спиральной канавки показана на рисунке ($N$ — число витков спирали). Заметим, что площадь получившегося параллелограмма $( \pi d)N \cdot l/N$ равна площади исходного покрытия $( \pi d)l$ (шириной канавок пренебрегаем). При большом числе витков $N$ угол $\alpha$ можно считать малым. Если в соответствие с условием пренебречь вкладами приконтактных областей, сопротивление получившейся плёнки можно записать в виде:
$R = \rho \frac{L}{ \delta w}$. (2)
Подставив сюда найденные из рисунка с помощью тригонометрических формул выражения для
$L = \frac{ \pi dN}{ \cos \alpha}$
и
$w = \frac{l}{N} \cos \alpha$
и разделив получившееся уравнение на (1), получим
$\frac{R}{R_{0}} = \left ( \frac{ \pi d N}{l \cos \alpha} \right )^{2}$ (3)
и найдём
$N = \frac{l}{ \pi d} \sqrt{ \frac{R}{R_{0} } } \cos \alpha \approx \frac{l}{ \pi d} \sqrt{ \frac{R}{R_{0} } }$,
положив (с учётом малости $\alpha$ и необходимости округления) $\cos \alpha \approx 1$. Подставив численные значения, получим
ответ: $N \approx \frac{1}{3 \cdot 0,2} \sqrt{ \frac{160}{1}} \approx 20$.
Примечание: если не пренебрегать малостью $\cos \alpha$, а вместо этого подставить в (3) $\cos \alpha = \frac{ \pi d}{ \sqrt{ ( \pi d)^{2} + (l/N)^{2} } }$ и выразить $N$, то получим $N = \frac{l}{ \pi d} \sqrt{ \frac{R}{R_{0} } - 1 }$, что после подстановки численных значений и округления приведёт к тому же ответу.
Резистор изготавливают из непроводящего керамического цилиндра длиной $l = 1 см$ и диаметром $d = 2 мм$, на который наносят тонкое проводящее покрытие и затем прорезают его тонкой спиральной непроводящей канавкой, а на торцы цилиндра напрессовывают контакты. Если канавку не прорезать, то получится резистор сопротивлением $R_{0} = 1 Ом$. Сколько витков должна иметь равномерная спиральная канавка, чтобы резистор имел сопротивление $R = 160 Ом$? Шириной канавки и вкладом приконтактных областей малого размера пренебречь. Ответ округлить до целого.
Решение:
Без прорезанной канавки развёртка проводящего покрытия представляет собой прямоугольник длиной $l$ и шириной $\pi d$. Толщину покрытия обозначим буквой $\delta$. Сопротивление такого резистора равно
$R_{0} = \rho \frac{l}{ \delta ( \pi d) }$, (1)
где $\rho$ — удельное сопротивление покрытия. Развёртка покрытия после прорезания спиральной канавки показана на рисунке ($N$ — число витков спирали). Заметим, что площадь получившегося параллелограмма $( \pi d)N \cdot l/N$ равна площади исходного покрытия $( \pi d)l$ (шириной канавок пренебрегаем). При большом числе витков $N$ угол $\alpha$ можно считать малым. Если в соответствие с условием пренебречь вкладами приконтактных областей, сопротивление получившейся плёнки можно записать в виде:
$R = \rho \frac{L}{ \delta w}$. (2)
Подставив сюда найденные из рисунка с помощью тригонометрических формул выражения для
$L = \frac{ \pi dN}{ \cos \alpha}$
и
$w = \frac{l}{N} \cos \alpha$
и разделив получившееся уравнение на (1), получим
$\frac{R}{R_{0}} = \left ( \frac{ \pi d N}{l \cos \alpha} \right )^{2}$ (3)
и найдём
$N = \frac{l}{ \pi d} \sqrt{ \frac{R}{R_{0} } } \cos \alpha \approx \frac{l}{ \pi d} \sqrt{ \frac{R}{R_{0} } }$,
положив (с учётом малости $\alpha$ и необходимости округления) $\cos \alpha \approx 1$. Подставив численные значения, получим
ответ: $N \approx \frac{1}{3 \cdot 0,2} \sqrt{ \frac{160}{1}} \approx 20$.
Примечание: если не пренебрегать малостью $\cos \alpha$, а вместо этого подставить в (3) $\cos \alpha = \frac{ \pi d}{ \sqrt{ ( \pi d)^{2} + (l/N)^{2} } }$ и выразить $N$, то получим $N = \frac{l}{ \pi d} \sqrt{ \frac{R}{R_{0} } - 1 }$, что после подстановки численных значений и округления приведёт к тому же ответу.
