2014-06-01
По обмотке длинного цилиндрического соленоида радиуса $R$ протекает постоянный ток, создающий внутри соленоида однородное магнитное иоле с индукцией $\bar{B}$. Между витками соленоида в него влетает по радиусу (перпендикулярно оси соленоида) электрон со скоростью $v$ (рис.). Отклоняясь в магнитном поле, электрон спустя некоторое время покинул соленоид.
Определите время $t$ движения электрона внутри соленоида.
Решение:
Индукция магнитного поля соленоида направлена вдоль его оси, поэтому сила Лоренца, действующая на электрон в любой момент времени, будет лежать в плоскости, перпендикулярной оси соленоида. Так как в начальный момент скорость электрона направлена перпендикулярно оси соленоида, то и траектория движения электрона будет лежать в плоскости, перпендикулярной оси соленоида. Силу Лоренца найдем по закону $F = evB$.
Траектория движения электрона внутри соленоида будет представлять дугу окружности, радиус которой найдем из соотношения $evB = mv^{2}/r$; отсюда
$r = mv/(eB)$.
Траектория движения электрона показана на рис. (вид сверху), где $O_{1}$ -центр дуги АС, описываемой электроном, $v^{\prime}$ - скорость, с которой электрон покидает соленоид. Отрезки OA и ОС касаются траектории электрона в точках А и С. Очевидно, что угол между $v$ и $v^{\prime}$ равен $\phi = \angle AO_{1}C$, поскольку $\angle OA_{1}O = \angle OCO_{1}$.
Чтобы найти $\phi$, рассмотрим прямоугольный треугольник $OAO_{1}$; катет $OA = R$, катет $AO_{1} = r$. Отсюда $tg \: (\phi /2) = R/r = eBR/(mv)$. Таким образом
$\phi = 2 arctg \: (eBR/mv)$.
Очевидно, модуль скорости не меняется на всей траектории, поскольку сила Лоренца в любой момент времени перпендикулярна скорости. Поэтому время движения электрона внутри соленоида найдем из соотношения
$t= \frac{r \phi}{v} = \frac{m \phi}{eB} = \frac{2m}{eB} arctg \: \left ( \frac{eBR}{mv} \right )$