Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6971
2018-04-02 
Первокурсник Андрей со своей сестрой пятиклассницей Лилей пошли на соседний стадион "изучать движение тел в поле тяжести Земли", а если короче, играть в мяч. Андрей каждый раз бил ногой по своему мячу так, что тот начинал движение из точки А с поверхности земли со скоростью $V_{1} = 10 \sqrt{2} м/с$ под углом $\alpha = 45^{ \circ}$, а падал в точке С. Лиля расположилась посередине между точками А и С в точке В и стала бросать свой мячик вертикально вверх, чтобы "сбить" мяч своего брата. Когда она наконец попала, мяч Андрея улетел в точку Е, причем $AE = \frac{3}{2}AC$, а ее собственный мяч вернулся к ней в точку В.
1) С какой скоростью $V_{2}$ бросала Лиля свой мяч?
2) С какой скоростью $V_{2}^{ \prime}$ вернется этот мяч в точку В?
Массы мячей одинаковы. Принять удар мячей абсолютно упругим; размерами мячей и сестры Лили пренебречь, то есть считать, что ее мяч начинал движение с поверхности земли; сопротивлением воздуха и трением между мячами во время удара пренебречь; ускорение свободного падения принять $g = 10 м/с^{2}$.
Решение:
Найдем формулы для дальности полета, высоты подъема и времени полета мяча из точки А до точки С:
$AC = \frac{V_{1}^{2} \sin 2 \alpha }{g}l h = \frac{V_{1}^{2} \sin^{2} \alpha }{2g}; t_{AC} = \frac{2V_{1} \sin \alpha }{g}$.
Во время полета мяча Андрея его горизонтальная скорость не меняется, так как ускорение вертикально:
$V_{1x} = V_{1} \cos \alpha = const$.
Так как мяч Лили вернулся назад вертикально, то сила удара была вертикальна и не повлияла на горизонтальную скорость мяча Андрея - она осталась такой же после удара. Если горизонтальная скорость не изменилась, а горизонтальное перемещение увеличилось в 1,5 раза, то и время полета от точки А до точки Е возросло в 1,5 раза. Учитывая, что до точки D мяч потратил половину времени $t_{AC}$, время движение мяча от точки D до точки Е равно
$t_{DC} = t_{AE} - t_{AD} = 1,5t_{AC} - 0,5t_{AC} = t_{AC} = \frac{2V_{1} \sin \alpha }{g}$
Напишем уравнение движения мяча после удара от точки D до точки Е в вертикальной проекции:
$0 = h = V_{y}t_{DC} - \frac{gt_{DC}^{2} }{2}$.
Отсюда найдем вертикальную скорость мяча после удара:
$V_{y} = \frac{1}{t_{DC} } \left ( \frac{gt_{DC}^{2} }{2} - h \right ) = \frac{gt_{DC} }{2} - \frac{h}{t_{DC}} = V_{1} \sin \alpha - \frac{V_{1} \sin \alpha }{4} = \frac{3}{4} V_{1} \sin \alpha$
При ударе двух шаров из закона сохранения импульса и энергии можно получить такой результат:
так как вертикальная скорость первого мяча перед ударом равна нулю, а массы мячей одинаковы, то после удара второй мяч остановится, а первый приобретет его вертикальную скорость $V_{y}$ (эффект биллиардных шаров) и продолжит свое движение.
Таким образом, становится понятным, что перед ударом мяч Лили имел вертикальную скорость $V_{y} = \frac{3}{4} V_{1} \sin \alpha$ и находился на высоте $h = \frac{V_{1}^{2} \sin^{2} \alpha }{g}$.
По закону сохранения энергии для мяча Лили найдем его начальную скорость:
$\frac{mV_{2}^{2} }{2} = \frac{mV_{y}^{2} }{2} + mgh \Rightarrow V_{2} = \sqrt{V_{y}^{2} + 2gh } = \sqrt{ \frac{9}{16}V_{1}^{2} \sin^{2} \alpha + V_{1}^{2} \sin^{2} \alpha } = \frac{5}{4} V_{1} \sin \alpha$
$V_{2} = \frac{5}{4} 10 \sqrt{2} \cdot \frac{ \sqrt{2} }{2} = 12,5 м/с$
После удара этот мяч упал с высоты $h$ без начальной скорости. Его скорость перед падением
$V_{2}^{ \prime} = \sqrt{2gh} = V_{1} \sin \alpha = 10 \sqrt{2} \frac{ \sqrt{2} }{2} = 10 м/с$
Первокурсник Андрей со своей сестрой пятиклассницей Лилей пошли на соседний стадион "изучать движение тел в поле тяжести Земли", а если короче, играть в мяч. Андрей каждый раз бил ногой по своему мячу так, что тот начинал движение из точки А с поверхности земли со скоростью $V_{1} = 10 \sqrt{2} м/с$ под углом $\alpha = 45^{ \circ}$, а падал в точке С. Лиля расположилась посередине между точками А и С в точке В и стала бросать свой мячик вертикально вверх, чтобы "сбить" мяч своего брата. Когда она наконец попала, мяч Андрея улетел в точку Е, причем $AE = \frac{3}{2}AC$, а ее собственный мяч вернулся к ней в точку В.
1) С какой скоростью $V_{2}$ бросала Лиля свой мяч?
2) С какой скоростью $V_{2}^{ \prime}$ вернется этот мяч в точку В?
Массы мячей одинаковы. Принять удар мячей абсолютно упругим; размерами мячей и сестры Лили пренебречь, то есть считать, что ее мяч начинал движение с поверхности земли; сопротивлением воздуха и трением между мячами во время удара пренебречь; ускорение свободного падения принять $g = 10 м/с^{2}$.
Решение:
Найдем формулы для дальности полета, высоты подъема и времени полета мяча из точки А до точки С:
$AC = \frac{V_{1}^{2} \sin 2 \alpha }{g}l h = \frac{V_{1}^{2} \sin^{2} \alpha }{2g}; t_{AC} = \frac{2V_{1} \sin \alpha }{g}$.
Во время полета мяча Андрея его горизонтальная скорость не меняется, так как ускорение вертикально:
$V_{1x} = V_{1} \cos \alpha = const$.
Так как мяч Лили вернулся назад вертикально, то сила удара была вертикальна и не повлияла на горизонтальную скорость мяча Андрея - она осталась такой же после удара. Если горизонтальная скорость не изменилась, а горизонтальное перемещение увеличилось в 1,5 раза, то и время полета от точки А до точки Е возросло в 1,5 раза. Учитывая, что до точки D мяч потратил половину времени $t_{AC}$, время движение мяча от точки D до точки Е равно
$t_{DC} = t_{AE} - t_{AD} = 1,5t_{AC} - 0,5t_{AC} = t_{AC} = \frac{2V_{1} \sin \alpha }{g}$
Напишем уравнение движения мяча после удара от точки D до точки Е в вертикальной проекции:
$0 = h = V_{y}t_{DC} - \frac{gt_{DC}^{2} }{2}$.
Отсюда найдем вертикальную скорость мяча после удара:
$V_{y} = \frac{1}{t_{DC} } \left ( \frac{gt_{DC}^{2} }{2} - h \right ) = \frac{gt_{DC} }{2} - \frac{h}{t_{DC}} = V_{1} \sin \alpha - \frac{V_{1} \sin \alpha }{4} = \frac{3}{4} V_{1} \sin \alpha$
При ударе двух шаров из закона сохранения импульса и энергии можно получить такой результат:
так как вертикальная скорость первого мяча перед ударом равна нулю, а массы мячей одинаковы, то после удара второй мяч остановится, а первый приобретет его вертикальную скорость $V_{y}$ (эффект биллиардных шаров) и продолжит свое движение.
Таким образом, становится понятным, что перед ударом мяч Лили имел вертикальную скорость $V_{y} = \frac{3}{4} V_{1} \sin \alpha$ и находился на высоте $h = \frac{V_{1}^{2} \sin^{2} \alpha }{g}$.
По закону сохранения энергии для мяча Лили найдем его начальную скорость:
$\frac{mV_{2}^{2} }{2} = \frac{mV_{y}^{2} }{2} + mgh \Rightarrow V_{2} = \sqrt{V_{y}^{2} + 2gh } = \sqrt{ \frac{9}{16}V_{1}^{2} \sin^{2} \alpha + V_{1}^{2} \sin^{2} \alpha } = \frac{5}{4} V_{1} \sin \alpha$
$V_{2} = \frac{5}{4} 10 \sqrt{2} \cdot \frac{ \sqrt{2} }{2} = 12,5 м/с$
После удара этот мяч упал с высоты $h$ без начальной скорости. Его скорость перед падением
$V_{2}^{ \prime} = \sqrt{2gh} = V_{1} \sin \alpha = 10 \sqrt{2} \frac{ \sqrt{2} }{2} = 10 м/с$
