Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6969
2018-04-02 
В электрическую схему, состоящую из трех незаряженных конденсаторов $C, 2C, 3C$ и двух резисторов $R$ и $3R$, подключили два источника c ЭДС $E$ и $2E$ (см. рисунок). Когда переходные процессы в схеме завершились, замкнули ключ К, после чего установилось новое установившееся состояние.
1) Во сколько раз отличаются величины работ, совершенных каждым источником после замыкания ключа К?
2) Во сколько раз изменение энергии конденсаторов больше тепла, выделившегося в схеме после замыкания ключа К?
Решение:
До замыкания ключа К, конденсаторы $C$ и $2C$ были соединены последовательно и зарядились до одинакового заряда $q_{0}$:
$\frac{q_{0}}{C} + \frac{q_{0} }{2C} = E + 2E \Rightarrow \frac{3q_{0}}{2C} = 3E \Rightarrow q = 2CE$
После замыкания ключа К все конденсаторы перезарядятся и ток после этого прекратится.
Запишем второе правило Кирхгофа для двух контуров:
$\frac{q_{1} }{C} - \frac{q_{3} }{3C} = E$
$\frac{q_{2} }{2C} + \frac{q_{3} }{3C} = 2E$
Запишем закон сохранения заряда в замкнутой области:
$q_{1} + q_{3} - q_{2} = q_{0} - q_{0} = 0$
Из первых двух уравнений выражаем $\begin{cases} q_{1} = CE + \frac{q_{3} }{3} \\ q_{2} = 4CE - \frac{2q_{3} }{3} \end{cases}$
и подставляем в третье уравнение:
$CE + \frac{q_{3} }{3} + q_{3} - 4CE + \frac{2q_{3}}{3} = 0 \Rightarrow 2q_{3} = 3CE \Rightarrow q_{3} = \frac{2CE}{3}$.
При этом $q_{1} = CE + \frac{3CE}{2 \cdot 3} = \frac{3CE }{2}$,
$q_{2} = 4CE - \frac{2}{3} q_{3} = 4CE - CE = 3CE$.
1) Таким образом, можно понять, что дополнительный заряд $\Delta q_{1} = q_{1} - q_{0} = - \frac{1}{2} CE$ прошел через источник $E$, при этом источник совершил работу $A_{1} = E \Delta q_{1} = \frac{1}{2} CE^{2}$.
Аналогично, дополнительный заряд $\Delta q_{2} = q_{2} - q_{0} = 3CE - 2CE$ прошел через источник $2E$, при этом этот источник совершил работу $A_{2} = 2E \Delta q_{2} = 4CE^{2} A_{2} = 2E \Delta q_{2} = 2CE^{2}$.
Работа источника $2E$ в 4 раза больше работы источника $E$.
2) Запишем закон изменения энергии системы: $A_{ист} + A_{внеш} = \Delta W_{сист} + Q$ В этом случае внешние силы не совершают работу, поэтому $A_{внеш} = 0$
$\Delta W_{сист} = \left ( \frac{q_{1}^{2} }{2C} + \frac{q_{2}^{2} }{2 \cdot 2C} + \frac{q_{3}^{2} }{2 \cdot 3C} \right ) - \left ( \frac{q_{0}^{2} }{2 \cdot 2C} + \frac{q_{0}^{2} }{2 \cdot 3C} \right ) = \frac{3}{4} CE^{2}$
$Q = A_{1} + A_{2} - \Delta W_{сист} = \left ( \frac{1}{2} + 1 - \frac{3}{4} \right ) CE^{2} = \frac{3}{4} CE^{2}$. Таким образом, количество выделившегося тепла равно изменению энергии конденсаторов.
В электрическую схему, состоящую из трех незаряженных конденсаторов $C, 2C, 3C$ и двух резисторов $R$ и $3R$, подключили два источника c ЭДС $E$ и $2E$ (см. рисунок). Когда переходные процессы в схеме завершились, замкнули ключ К, после чего установилось новое установившееся состояние.
1) Во сколько раз отличаются величины работ, совершенных каждым источником после замыкания ключа К?
2) Во сколько раз изменение энергии конденсаторов больше тепла, выделившегося в схеме после замыкания ключа К?
Решение:
До замыкания ключа К, конденсаторы $C$ и $2C$ были соединены последовательно и зарядились до одинакового заряда $q_{0}$:
$\frac{q_{0}}{C} + \frac{q_{0} }{2C} = E + 2E \Rightarrow \frac{3q_{0}}{2C} = 3E \Rightarrow q = 2CE$
После замыкания ключа К все конденсаторы перезарядятся и ток после этого прекратится.
Запишем второе правило Кирхгофа для двух контуров:
$\frac{q_{1} }{C} - \frac{q_{3} }{3C} = E$
$\frac{q_{2} }{2C} + \frac{q_{3} }{3C} = 2E$
Запишем закон сохранения заряда в замкнутой области:
$q_{1} + q_{3} - q_{2} = q_{0} - q_{0} = 0$
Из первых двух уравнений выражаем $\begin{cases} q_{1} = CE + \frac{q_{3} }{3} \\ q_{2} = 4CE - \frac{2q_{3} }{3} \end{cases}$
и подставляем в третье уравнение:
$CE + \frac{q_{3} }{3} + q_{3} - 4CE + \frac{2q_{3}}{3} = 0 \Rightarrow 2q_{3} = 3CE \Rightarrow q_{3} = \frac{2CE}{3}$.
При этом $q_{1} = CE + \frac{3CE}{2 \cdot 3} = \frac{3CE }{2}$,
$q_{2} = 4CE - \frac{2}{3} q_{3} = 4CE - CE = 3CE$.
1) Таким образом, можно понять, что дополнительный заряд $\Delta q_{1} = q_{1} - q_{0} = - \frac{1}{2} CE$ прошел через источник $E$, при этом источник совершил работу $A_{1} = E \Delta q_{1} = \frac{1}{2} CE^{2}$.
Аналогично, дополнительный заряд $\Delta q_{2} = q_{2} - q_{0} = 3CE - 2CE$ прошел через источник $2E$, при этом этот источник совершил работу $A_{2} = 2E \Delta q_{2} = 4CE^{2} A_{2} = 2E \Delta q_{2} = 2CE^{2}$.
Работа источника $2E$ в 4 раза больше работы источника $E$.
2) Запишем закон изменения энергии системы: $A_{ист} + A_{внеш} = \Delta W_{сист} + Q$ В этом случае внешние силы не совершают работу, поэтому $A_{внеш} = 0$
$\Delta W_{сист} = \left ( \frac{q_{1}^{2} }{2C} + \frac{q_{2}^{2} }{2 \cdot 2C} + \frac{q_{3}^{2} }{2 \cdot 3C} \right ) - \left ( \frac{q_{0}^{2} }{2 \cdot 2C} + \frac{q_{0}^{2} }{2 \cdot 3C} \right ) = \frac{3}{4} CE^{2}$
$Q = A_{1} + A_{2} - \Delta W_{сист} = \left ( \frac{1}{2} + 1 - \frac{3}{4} \right ) CE^{2} = \frac{3}{4} CE^{2}$. Таким образом, количество выделившегося тепла равно изменению энергии конденсаторов.
