ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-04-02   
В сосуде с идеальной жидкостью падает с нулевой начальной скоростью шарик, плотность которого в 4 раза больше плотности жидкости. Другой шарик всплывает со дна этого сосуда за время, в два раза большее времени падения первого шарика. Во сколько раз плотность первого шарика больше, чем второго?


Решение:



Нарисован рисунок и расставлены действующие силы Запишем II закон Ньютона в проекции на ось у для двух случаев

$\begin{cases} m_{1}g - F_{A1} = m_{1}a_{1} \\ m_{2}g - F_{A2} = - m_{2}a_{2} \end{cases}$ (1)

Масса $m_{1} = \rho_{1} V_{1}$; Сила Архимеда $F_{A1} = \rho g V_{1}$. Аналогично для второго шарика. Подставляя эти выражения в (1), получим

$\begin{cases} \rho_{1}gV_{1} - \rho gV_{1} = \rho_{1}V_{1}a_{1} \\ \rho_{2}gV_{2} - \rho gV_{2} = - \rho_{2}V_{2}a_{2} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \rho_{1}g - \rho g = \rho_{1}a_{1} \\ \rho_{2}g - \rho g = - \rho_{2}a_{2} \end{cases}$ (2)

Так как оба шарика проходят одинаковое расстояние, то $S = \frac{a_{1}t_{1}^{2} }{2} = \frac{a_{2}t_{2}^{2} }{2} \Rightarrow \frac{a_{1} }{a_{2} } = \frac{t_{2}^{2} }{t_{1}^{2} } = 4$

Тогда из уравнений (2) с учетом того, что $\rho_{1} = 4 \rho$, после деления получим $\frac{ \rho_{1} - \rho }{ \rho_{2} - \rho } = - \frac{ \rho_{1}a_{1} }{ \rho_{2}a_{2} }; \frac{ \rho_{1} - \rho }{ \rho - \rho_{2} } = \frac{ \rho_{1}4a_{2} }{ \rho_{2}a_{2} }; \frac{4 \rho - \rho}{ \rho - rho_{2} } = - \frac{4 \rho 4 }{ \rho_{2}} $;

Отсюда $ \frac{3}{ \rho - \rho_{2} } = \frac{16}{ \rho_{2} } \Rightarrow \rho_{2} = \frac{16}{9} \rho = \frac{16}{19} \frac{ \rho_{1} }{4}$;

Тогда отношение плотностей шаров $ \frac{ \rho_{1} }{ \rho_{2} } = \frac{19}{4} = 4,75$.