Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6951
2018-03-31 
На ферромагнитный кольцевой сердечник с очень большой магнитной проницаемостью намотаны две совершенно одинаковые обмотки - катушки индуктивностью $L$ каждая. Последовательно с одной из обмоток подключен конденсатор емкости $C$, к получившейся последовательной цепочке подключают параллельно вторую обмотку. При помощи генератора синусоидального напряжения и подключенной последовательно с ним лампочки накаливания исследуем свойства получившейся цепочки (рис.). Как меняется накал лампочки при изменении частоты генератора? Что изменится, если поменять местами выводы одной из обмоток?
Решение:
В одном из возможных вариантов включения выводов катушек напряжение, приложенное к конденсатору, все время в точности равно нулю и ток в этой части цепи течь вообще не будет — тогда останется только катушка $L$. В этом случае накал лампочки будет монотонно убывать при увеличении частоты генератора — индуктивное сопротивление катушки пропорционально частоте.
Если теперь любую из катушек переключить наоборот, то напряжения катушек останутся равными, но теперь они не вычитаются, а складываются. Исследуем получившийся двухполюсник: приложим к его выводам переменное напряжение $U(t) = U_{0} \cos \omega t$ и посмотрим, какой ток потечет от источника (см. рис.). Теперь напряжение одной из катушек равно напряжению источника, равенство магнитных потоков через катушки приводит к тому, что и напряжение второй катушки будет таким же, значит, к конденсатору будет приложено удвоенное напряжение источника и ток через него можно найти: $I_{2} = - 2U_{0} \omega C \sin \omega t$.
Поле, пронизывающее витки каждой из катушек, определяется разностью токов $I_{1} - I_{2}$ - важно не перепутать знаки в последующих уравнениях, можно опираться на знакомый расчет для параллельного колебательного контура.
$L (I_{1} - I_{2}) = \frac{U_{0} }{ \omega L } \sin \omega t$
(слева в скобках — производные токов!). Общий ток
$I_{1} + I_{2} = (I_{1} - I_{2}) + 2I_{2} = U_{0} \left ( \frac{1}{ \omega L} - 4 \omega C \right ) \sin \omega t$.
Сопротивление двухполюсника
$Z = \frac{1}{ (1 / \omega L ) - 2 \omega C } = \frac{ \omega L}{1 - 2 \omega^{2} LC }$.
Такая зависимость $Z$ от частоты характерна для параллельного контура из катушки $L$ и конденсатора $4C$.
Видно, что на низких частотах двухполюсник ведет себя как катушка $L$, а на высоких — как конденсатор емкости $4C$. Итак, накал лампочки становится большим на совсем низких и достаточно высоких частотах. По мере возрастания частоты от малых значений накал лампочки уменьшается. На частоте $\omega_{p} = 1/2 \sqrt{LC}$ сопротивление двухполюсника возрастает до очень больших значений — при приближении к этой частоте накал лампочки уменьшается практически до нуля и дальше снова возрастает при увеличении частоты.
На ферромагнитный кольцевой сердечник с очень большой магнитной проницаемостью намотаны две совершенно одинаковые обмотки - катушки индуктивностью $L$ каждая. Последовательно с одной из обмоток подключен конденсатор емкости $C$, к получившейся последовательной цепочке подключают параллельно вторую обмотку. При помощи генератора синусоидального напряжения и подключенной последовательно с ним лампочки накаливания исследуем свойства получившейся цепочки (рис.). Как меняется накал лампочки при изменении частоты генератора? Что изменится, если поменять местами выводы одной из обмоток?
Решение:
В одном из возможных вариантов включения выводов катушек напряжение, приложенное к конденсатору, все время в точности равно нулю и ток в этой части цепи течь вообще не будет — тогда останется только катушка $L$. В этом случае накал лампочки будет монотонно убывать при увеличении частоты генератора — индуктивное сопротивление катушки пропорционально частоте.
Если теперь любую из катушек переключить наоборот, то напряжения катушек останутся равными, но теперь они не вычитаются, а складываются. Исследуем получившийся двухполюсник: приложим к его выводам переменное напряжение $U(t) = U_{0} \cos \omega t$ и посмотрим, какой ток потечет от источника (см. рис.). Теперь напряжение одной из катушек равно напряжению источника, равенство магнитных потоков через катушки приводит к тому, что и напряжение второй катушки будет таким же, значит, к конденсатору будет приложено удвоенное напряжение источника и ток через него можно найти: $I_{2} = - 2U_{0} \omega C \sin \omega t$.
Поле, пронизывающее витки каждой из катушек, определяется разностью токов $I_{1} - I_{2}$ - важно не перепутать знаки в последующих уравнениях, можно опираться на знакомый расчет для параллельного колебательного контура.
$L (I_{1} - I_{2}) = \frac{U_{0} }{ \omega L } \sin \omega t$
(слева в скобках — производные токов!). Общий ток
$I_{1} + I_{2} = (I_{1} - I_{2}) + 2I_{2} = U_{0} \left ( \frac{1}{ \omega L} - 4 \omega C \right ) \sin \omega t$.
Сопротивление двухполюсника
$Z = \frac{1}{ (1 / \omega L ) - 2 \omega C } = \frac{ \omega L}{1 - 2 \omega^{2} LC }$.
Такая зависимость $Z$ от частоты характерна для параллельного контура из катушки $L$ и конденсатора $4C$.
Видно, что на низких частотах двухполюсник ведет себя как катушка $L$, а на высоких — как конденсатор емкости $4C$. Итак, накал лампочки становится большим на совсем низких и достаточно высоких частотах. По мере возрастания частоты от малых значений накал лампочки уменьшается. На частоте $\omega_{p} = 1/2 \sqrt{LC}$ сопротивление двухполюсника возрастает до очень больших значений — при приближении к этой частоте накал лампочки уменьшается практически до нуля и дальше снова возрастает при увеличении частоты.
