Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6946
2018-03-31 
Для съемок очередного фильма Спилберга был изготовлен макет Земли в натуральную величину и с той же массой (внутри большого очень легкого пластмассового шара находится тяжелый шар из очень плотного вещества). В результате неточностей при сборке центр масс тяжелого шара оказался смещенным в плоскости экватора на расстояние $d = 100 км$ от центра большого шара. Найти минимальное время оборота спутника, который движется в экваториальной плоскости.
Решение:
Найдем "минимальную" орбиту спутника. Пусть она почти касается Земли в точке А — ближайшей к сдвинутому центру масс. Ускорение спутника в этой точке перпендикулярно к вектору скорости $V_{1}$ и определяется гравитационным притяжением "Земли"
$a = \frac{GM}{(R - d)^{2} } = \frac{V_{1}^{2} }{R}$,
(мы учли, что радиус кривизны орбиты в этом месте не может быть меньше радиуса Земли $R$). Теперь мы можем найти наименьшую возможную скорость $V_{1}$ в этой точке:
$V_{1} = \frac{ \sqrt{GMR} }{R - d }$. (1)
Рассмотрим теперь самую дальнюю точку орбиты. Обозначим высоту спутника над поверхностью буквой $x$, тогда расстояние от спутника до центра масс в этой точке получится $R + d + x$. Воспользуемся законом сохранения момента импульса (или вторым законом Кеплера) для нахождения связи между скоростями в ближней и дальней точках траектории
$V_{2}(R + d + x) = V_{1}(R - d)$.
Еще запишем закон сохранения энергии для спутника в этих двух точках (энергия взаимодействия спутника и "Земли" отрицательна!)
$- \frac{GM}{R - d} + \frac{mV_{1}^{2}}{2} = - \frac{GM}{R + d + x} + \frac{mV_{2}^{2} }{2}$.
Подставляя значения $V_{1}$ из первого уравнения и $V_{2}$ из второго уравнения в третье, получим значение высоты $x: x = 2d^{2}/(R - 2d) \approx 3200 м$. Получилась совсем небольшая высота, размер большой полуоси эллипса практически не отличается от радиуса Земли, и период обращения $T_{1}$ почти равен $T_{0} = 2 \pi \sqrt{R / g} \approx 5060 c$ — периоду обращения вокруг Земли по круговой орбите радиуса $R$. Отношение этих периодов можно найти используя третий закон Кеплера:
$\frac{T_{1} }{T_{0} } = \left [ \frac{R + 0,5x}{R} \right ]^{1,5} \approx 1,0004$.
Подумайте сами: а нет ли орбиты обращения с еще меньшим периодом?
Для съемок очередного фильма Спилберга был изготовлен макет Земли в натуральную величину и с той же массой (внутри большого очень легкого пластмассового шара находится тяжелый шар из очень плотного вещества). В результате неточностей при сборке центр масс тяжелого шара оказался смещенным в плоскости экватора на расстояние $d = 100 км$ от центра большого шара. Найти минимальное время оборота спутника, который движется в экваториальной плоскости.
Решение:
Найдем "минимальную" орбиту спутника. Пусть она почти касается Земли в точке А — ближайшей к сдвинутому центру масс. Ускорение спутника в этой точке перпендикулярно к вектору скорости $V_{1}$ и определяется гравитационным притяжением "Земли"
$a = \frac{GM}{(R - d)^{2} } = \frac{V_{1}^{2} }{R}$,
(мы учли, что радиус кривизны орбиты в этом месте не может быть меньше радиуса Земли $R$). Теперь мы можем найти наименьшую возможную скорость $V_{1}$ в этой точке:
$V_{1} = \frac{ \sqrt{GMR} }{R - d }$. (1)
Рассмотрим теперь самую дальнюю точку орбиты. Обозначим высоту спутника над поверхностью буквой $x$, тогда расстояние от спутника до центра масс в этой точке получится $R + d + x$. Воспользуемся законом сохранения момента импульса (или вторым законом Кеплера) для нахождения связи между скоростями в ближней и дальней точках траектории
$V_{2}(R + d + x) = V_{1}(R - d)$.
Еще запишем закон сохранения энергии для спутника в этих двух точках (энергия взаимодействия спутника и "Земли" отрицательна!)
$- \frac{GM}{R - d} + \frac{mV_{1}^{2}}{2} = - \frac{GM}{R + d + x} + \frac{mV_{2}^{2} }{2}$.
Подставляя значения $V_{1}$ из первого уравнения и $V_{2}$ из второго уравнения в третье, получим значение высоты $x: x = 2d^{2}/(R - 2d) \approx 3200 м$. Получилась совсем небольшая высота, размер большой полуоси эллипса практически не отличается от радиуса Земли, и период обращения $T_{1}$ почти равен $T_{0} = 2 \pi \sqrt{R / g} \approx 5060 c$ — периоду обращения вокруг Земли по круговой орбите радиуса $R$. Отношение этих периодов можно найти используя третий закон Кеплера:
$\frac{T_{1} }{T_{0} } = \left [ \frac{R + 0,5x}{R} \right ]^{1,5} \approx 1,0004$.
Подумайте сами: а нет ли орбиты обращения с еще меньшим периодом?
