Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6937
2018-03-29 
Катушка индуктивности $L = 1 Гн$ присоединена параллельно конденсатору $C = 10 мкФ$, последовательно с получившимся контуром включен еще один такой же конденсатор, и к получившейся цепи подключен генератор низкой частоты, имеющий амплитуду выходного напряжения $U_{0} = 1 В$. На какой частоте ток, потребляемый цепью от генератора, получается очень малым? На какой частоте этот ток резко возрастает? Оценить максимальную амплитуду напряжения на катушке, если сопротивление провода ее обмотки составляет $R = 10 Ом$. Остальные элементы цепи считайте идеальными.
Решение:
Для ответов на первые два вопроса будем считать элементы цепи идеальными — разница получится совсем небольшой, а рассуждения сильно упростятся. Очень малым получится ток на такой частоте $\omega_{1}$, на которой параллельный контур имеет очень высокое (для идеальных элементов — бесконечное) сопротивление. Для этой частоты токи через конденсатор и катушку в параллельном контуре равны друг другу по величине и противоположны по фазе, тогда $\omega_{1} = 1/ \sqrt{LC}$. Сильно возрастает ток цепи на частоте $\omega_{2}$, определяемой условием: напряжения на контуре и на последовательном конденсаторе почти компенсируют друг друга (при идеальных элементах цепи компенсация будет полной и ток в цепи может оказаться сколь угодно большим). Для компенсации нужно, чтобы токи через конденсаторы были одинаковы и текли в противоположные стороны, следовательно, ток катушки будет в два раза больше, чем через параллельный ей конденсатор. Тогда можно записать, что на частоте $\omega_{2}$ при одинаковых напряжениях ток через катушку вдвое больше: $2I \omega_{2} L = I/ \omega_{2} C$. Отсюда
$\omega_{2} = \frac{1}{ \sqrt{2LC} }$.
Для оценки максимального напряжения на катушке нам придется учитывать влияние небольшого (это мы дальше проверим!) последовательного сопротивления — без него амплитуда получилась бы сколь угодно большой. Для грубой оценки вполне можно считать, что максимальная амплитуда будет на частоте $\omega_{2}$ — строго говоря, это будет на немного другой частоте, однако при небольшом последовательном сопротивлении разность этих частот совсем мала. Итак, на указанной частоте напряжение катушки почти равно напряжению последовательного конденсатора и имеет противоположную фазу — это означает, что напряжение генератора приложено к резистору $R$ и по нему (а значит, и по катушке) течет ток амплитуды $I_{0} = U_{0}/R = 0,1 А$. Тогда на катушке амплитуда напряжения составит
$U_{L} = I_{0} \omega_{2} L = \frac{U_{0} \omega_{2}L }{R} = \frac{U_{0} }{R} \sqrt{ \frac{L}{2C} } \approx 22,5 В$.
Мы видим, что напряжение существенно превышает амплитуду генератора — "затухание" контура получилось небольшое и наши предположения о "малости" последовательного сопротивления достаточно оправданы. Аккуратный расчет дает для амплитуды напряжения на катушке почти в 2 раза меньшую величину — примерно 11 В, однако и наша грубая оценка вполне разумна.
Катушка индуктивности $L = 1 Гн$ присоединена параллельно конденсатору $C = 10 мкФ$, последовательно с получившимся контуром включен еще один такой же конденсатор, и к получившейся цепи подключен генератор низкой частоты, имеющий амплитуду выходного напряжения $U_{0} = 1 В$. На какой частоте ток, потребляемый цепью от генератора, получается очень малым? На какой частоте этот ток резко возрастает? Оценить максимальную амплитуду напряжения на катушке, если сопротивление провода ее обмотки составляет $R = 10 Ом$. Остальные элементы цепи считайте идеальными.
Решение:
Для ответов на первые два вопроса будем считать элементы цепи идеальными — разница получится совсем небольшой, а рассуждения сильно упростятся. Очень малым получится ток на такой частоте $\omega_{1}$, на которой параллельный контур имеет очень высокое (для идеальных элементов — бесконечное) сопротивление. Для этой частоты токи через конденсатор и катушку в параллельном контуре равны друг другу по величине и противоположны по фазе, тогда $\omega_{1} = 1/ \sqrt{LC}$. Сильно возрастает ток цепи на частоте $\omega_{2}$, определяемой условием: напряжения на контуре и на последовательном конденсаторе почти компенсируют друг друга (при идеальных элементах цепи компенсация будет полной и ток в цепи может оказаться сколь угодно большим). Для компенсации нужно, чтобы токи через конденсаторы были одинаковы и текли в противоположные стороны, следовательно, ток катушки будет в два раза больше, чем через параллельный ей конденсатор. Тогда можно записать, что на частоте $\omega_{2}$ при одинаковых напряжениях ток через катушку вдвое больше: $2I \omega_{2} L = I/ \omega_{2} C$. Отсюда
$\omega_{2} = \frac{1}{ \sqrt{2LC} }$.
Для оценки максимального напряжения на катушке нам придется учитывать влияние небольшого (это мы дальше проверим!) последовательного сопротивления — без него амплитуда получилась бы сколь угодно большой. Для грубой оценки вполне можно считать, что максимальная амплитуда будет на частоте $\omega_{2}$ — строго говоря, это будет на немного другой частоте, однако при небольшом последовательном сопротивлении разность этих частот совсем мала. Итак, на указанной частоте напряжение катушки почти равно напряжению последовательного конденсатора и имеет противоположную фазу — это означает, что напряжение генератора приложено к резистору $R$ и по нему (а значит, и по катушке) течет ток амплитуды $I_{0} = U_{0}/R = 0,1 А$. Тогда на катушке амплитуда напряжения составит
$U_{L} = I_{0} \omega_{2} L = \frac{U_{0} \omega_{2}L }{R} = \frac{U_{0} }{R} \sqrt{ \frac{L}{2C} } \approx 22,5 В$.
Мы видим, что напряжение существенно превышает амплитуду генератора — "затухание" контура получилось небольшое и наши предположения о "малости" последовательного сопротивления достаточно оправданы. Аккуратный расчет дает для амплитуды напряжения на катушке почти в 2 раза меньшую величину — примерно 11 В, однако и наша грубая оценка вполне разумна.
