Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6934
2018-03-29 
В распоряжении физика есть два тепловых резервуара - очень горячий (с температурой $+200^{ \circ} С$) и просто горячий (с температурой $+ 70^{ \circ} С$). Окружающая среда имеет постоянную температуру $+20^{ \circ} С$. Физику велено сообщить очень горячему телу количество теплоты 1000 Дж и просто горячему количество теплоты 2000 Дж. Какую минимальную механическую работу ему придется для этого совершить? Теплоемкости горячего и очень горячего тел можно считать очень большими.
Решение:
Передавать тепло от холодного тела к горячему позволяет обращенная тепловая машина (она использует обычный "тепловой" цикл, но он проводится в обратном направлении — при контакте с горячим телом — нагревателем, рабочее тело не расширяется, совершая работу, а наоборот, сжимается — при этом тепло перетекает в нагреватель, а при контакте с холодным телом рабочее тело расширяется, при этом тепло отнимается от холодильника). Если в качестве такой машины использовать идеальную тепловую машину, обратив ее цикл, то для перекачки заданной порции тепла между данными горячим и холодным телом потребуется минимальная работа. Итак, мы используем обращенную идеальную тепловую машину, коэффициент полезного действия которой (в прямом цикле) нам известен: $\eta = A/ Q_{н} = (T_{н} - T_{х})/ T_{н}$. Такое же соотношение между затраченной работой и количеством тепла, переданным горячему телу, получится и в обращенном цикле. Осталось решить, какое количество тепла очень горячее тело должно получить от холодного тела, а какое — от горячего. И хотя ответ очевиден, проведем расчет. Обозначим количество тепла, которое мы передадим непосредственно от холодного ($T_{3} = 293 К$) к очень горячему ($T_{1} = 473 К$), буквой $Q$, тогда от горячего ($T_{2} = 343 К$) останется передать $1000 - Q$. На все это понадобится работа $A_{1} + A_{2} = Q(T_{1} - T_{3})/T_{1} + (1000 - Q)(T_{1} - T_{2})/T_{1}$. Осталось найти количество тепла, которое нужно передать от холодного тела горячему. При передаче $1000 - Q$ очень горячему телу горячее "потеряло" только $(1000 - Q)T_{2} /T_{1}$, остальное дала совершенная при этом работа. Значит, ему нужно еще сообщить количество тепла $[2000 + (1000 - Q)T_{2} / T_{1}]$. При этом нужно совершить работу
$A_{3} = \left [ 2000 + (1000 - Q) \frac{T_{2} }{T_{1} } \right ] \frac{T_{2} - T_{3} }{T_{2} }$.
Складывая рассчитанные величины, получаем полную работу:
$A = \frac{Q ( T_{1} - T_{3} )}{T_{1} } + (1000 - Q) \frac{T_{1} - T_{2} }{T_{1} } + \left [ 2000 + (1000 - Q) \frac{T_{2} }{T_{1} } \right ] \frac{T_{2} - T_{3} }{T_{2} } = 1000 \frac{T_{1} - T_{2} }{T_{1} } + \left ( 2000 + 1000 \frac{T_{2} }{T_{3} } \right ) \frac{T_{2} - T_{3} }{T_{2} } + Q \left ( \frac{T_{1} - T_{3} }{T_{1} } - \frac{T_{1} - T_{2} }{T_{1} } - \frac{T_{2} }{T_{1} } \cdot \frac{T_{2} - T_{3} }{T_{2} } \right )$.
Нетрудно увидеть, что множитель при $Q$ в точности равен нулю. Это говорит о том, что необходимая работа вовсе не зависит от того, какие порции тепла мы забираем у конкретных тел, результат будет во всех случаях одинаковым:
$A = 1000 \frac{T_{1} - T_{2} }{T_{1} } + \left ( 2000 + 1000 \frac{T_{2} }{T_{1} } \right ) \frac{T_{2} - T_{3} }{T_{2} } \approx 672 Дж$.
В распоряжении физика есть два тепловых резервуара - очень горячий (с температурой $+200^{ \circ} С$) и просто горячий (с температурой $+ 70^{ \circ} С$). Окружающая среда имеет постоянную температуру $+20^{ \circ} С$. Физику велено сообщить очень горячему телу количество теплоты 1000 Дж и просто горячему количество теплоты 2000 Дж. Какую минимальную механическую работу ему придется для этого совершить? Теплоемкости горячего и очень горячего тел можно считать очень большими.
Решение:
Передавать тепло от холодного тела к горячему позволяет обращенная тепловая машина (она использует обычный "тепловой" цикл, но он проводится в обратном направлении — при контакте с горячим телом — нагревателем, рабочее тело не расширяется, совершая работу, а наоборот, сжимается — при этом тепло перетекает в нагреватель, а при контакте с холодным телом рабочее тело расширяется, при этом тепло отнимается от холодильника). Если в качестве такой машины использовать идеальную тепловую машину, обратив ее цикл, то для перекачки заданной порции тепла между данными горячим и холодным телом потребуется минимальная работа. Итак, мы используем обращенную идеальную тепловую машину, коэффициент полезного действия которой (в прямом цикле) нам известен: $\eta = A/ Q_{н} = (T_{н} - T_{х})/ T_{н}$. Такое же соотношение между затраченной работой и количеством тепла, переданным горячему телу, получится и в обращенном цикле. Осталось решить, какое количество тепла очень горячее тело должно получить от холодного тела, а какое — от горячего. И хотя ответ очевиден, проведем расчет. Обозначим количество тепла, которое мы передадим непосредственно от холодного ($T_{3} = 293 К$) к очень горячему ($T_{1} = 473 К$), буквой $Q$, тогда от горячего ($T_{2} = 343 К$) останется передать $1000 - Q$. На все это понадобится работа $A_{1} + A_{2} = Q(T_{1} - T_{3})/T_{1} + (1000 - Q)(T_{1} - T_{2})/T_{1}$. Осталось найти количество тепла, которое нужно передать от холодного тела горячему. При передаче $1000 - Q$ очень горячему телу горячее "потеряло" только $(1000 - Q)T_{2} /T_{1}$, остальное дала совершенная при этом работа. Значит, ему нужно еще сообщить количество тепла $[2000 + (1000 - Q)T_{2} / T_{1}]$. При этом нужно совершить работу
$A_{3} = \left [ 2000 + (1000 - Q) \frac{T_{2} }{T_{1} } \right ] \frac{T_{2} - T_{3} }{T_{2} }$.
Складывая рассчитанные величины, получаем полную работу:
$A = \frac{Q ( T_{1} - T_{3} )}{T_{1} } + (1000 - Q) \frac{T_{1} - T_{2} }{T_{1} } + \left [ 2000 + (1000 - Q) \frac{T_{2} }{T_{1} } \right ] \frac{T_{2} - T_{3} }{T_{2} } = 1000 \frac{T_{1} - T_{2} }{T_{1} } + \left ( 2000 + 1000 \frac{T_{2} }{T_{3} } \right ) \frac{T_{2} - T_{3} }{T_{2} } + Q \left ( \frac{T_{1} - T_{3} }{T_{1} } - \frac{T_{1} - T_{2} }{T_{1} } - \frac{T_{2} }{T_{1} } \cdot \frac{T_{2} - T_{3} }{T_{2} } \right )$.
Нетрудно увидеть, что множитель при $Q$ в точности равен нулю. Это говорит о том, что необходимая работа вовсе не зависит от того, какие порции тепла мы забираем у конкретных тел, результат будет во всех случаях одинаковым:
$A = 1000 \frac{T_{1} - T_{2} }{T_{1} } + \left ( 2000 + 1000 \frac{T_{2} }{T_{1} } \right ) \frac{T_{2} - T_{3} }{T_{2} } \approx 672 Дж$.
