Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6932
2018-03-29 
Куб с ребром $a = 10 см$, имеющий массу $M = 1 кг$, подвешен на пружине жесткостью $k = 400 Н/м$ так, что его основание параллельно земле. Снизу на куб направляют поток маленьких упругих шариков, обладающих скоростью $v_{0} = 20 м/с$ на высоте первоначального положения нижней грани куба. Куб начинает колебаться, двигаясь поступательно вдоль вертикальной оси. Найти период и амплитуду этих колебаний. Оказывается, колебания эти медленно затухают, хотя никакого трения тут нет. Объяснить причину затухания этих колебаний и оценить время, в течение которого амплитуда уменьшится на 10%. Масса одного шарика $m = 1 г$, концентрация шариков в потоке $n = 1000 шт/м^{3}$. Ударами шариков друг о друга пренебречь.
Решение:
Ударяясь о нижнюю грань куба и упруго отскакивая, шарики создают почти постоянную (дальше мы уточним эту оценку) силу, направленную вверх. Эта сила сместит положение равновесия куба на пружине вверх и в системе начнутся колебания. Оценим величину силы, считая для начала куб неподвижным: за малый отрезок времени $\tau$ ударятся о грань куба только те шарики, которые ближе, чем на расстоянии $v_{0} \tau$ от грани, таких шариков будет $na^{2}v_{0} \tau$. Каждый удар передает кубу импульс $2mv_{0}$, всего за время $\tau$ куб получает импульс $(na^{2} v_{0} \tau ) \cdot 2mv_{0}$, это дает силу $F = 2na^{2}mv_{0}^{2}$, которая сместит положение равновесия на $s = F/k$. Это и была бы амплитуда колебаний, если бы не затухание, которое будет амплитуду уменьшать. Период колебаний груза на пружине определяется стандартной формулой $T = 2 \pi \sqrt{ \frac{M}{k} } \approx 0,31 с$ - это самые обычные колебания груза на пружине. Сделаем теперь числовые оценки.
Сила $F = 2 \cdot 1000 \cdot 0,01 \cdot 0,001 \cdot 400 = 8 Н$. Смещение $s = 8/400 = 0,02 м$. Максимальное значение скорости можно найти из закона сохранения энергии, а можно просто умножить амплитуду на круговую частоту колебаний $\omega = \sqrt{ \frac{k}{M} }$ и получить $v = 0,4 м/с$. Малая амплитуда колебаний позволяет считать, что положение нижней грани почти не меняется — скорость шариков перед ударом можно считать равной $v_{0}$. А вот импульс, передаваемый кубу, меняется в зависимости от его скорости — именно этим и объясняется затухание. Посчитаем силу, действующую на движущийся куб. При скорости куба, направленной вверх и равной $u$, сила запишется так:
$F = 2na^{2}m(v_{0} - u)^{2} = 2na^{2}m(v_{0}^{2} + u^{2}) - 4na^{2}mv_{0}u$.
Второе слагаемое меняет знак при изменении скорости куба на противоположную, если бы сила оказалась не зависящей от направления скорости, работа ее за период колебаний была бы нулевой и затухания не было бы. А полученное слагаемое очень похоже на силу вязкого трения — она направлена против скорости и пропорциональна ей. Сделаем очень грубую оценку затухания. Возьмем четверть периода колебаний — от нуля до полного отклонения от положения равновесия на амплитудное значение. Силу трения заменим на ее "среднее" значение — половину от максимального. Тогда работа этой силы
$A = 0,5fs = 0,5 \cdot 4 \cdot 1000 \cdot 0,01 \cdot 0,001 \cdot 20 \cdot 0,4 \cdot 0,02 \approx 3 \cdot 10^{-3} Дж$.
Энергия колебаний системы вначале равна
$W = \frac{ks^{2} }{2} = \frac{400 \cdot 0,02^{2} }{2} = 0,08 Дж$.
Уменьшение амплитуды на 10% соответствует потере 20% энергии, при потере примерно 4% (это $A/W$) за четверть периода мы получим время для заданного затухания приблизительно один-полтора периода колебаний, то есть примерно 0,3—0,45 секунды. Можно сделать и более аккуратную оценку — либо решая уравнение колебаний с затуханием, либо пользуясь аналогией с колебательным контуром, содержащим катушку, конденсатор и небольшой резистор — для этого случая все формулы хорошо известны — однако и наша оценка вполне разумна.
Куб с ребром $a = 10 см$, имеющий массу $M = 1 кг$, подвешен на пружине жесткостью $k = 400 Н/м$ так, что его основание параллельно земле. Снизу на куб направляют поток маленьких упругих шариков, обладающих скоростью $v_{0} = 20 м/с$ на высоте первоначального положения нижней грани куба. Куб начинает колебаться, двигаясь поступательно вдоль вертикальной оси. Найти период и амплитуду этих колебаний. Оказывается, колебания эти медленно затухают, хотя никакого трения тут нет. Объяснить причину затухания этих колебаний и оценить время, в течение которого амплитуда уменьшится на 10%. Масса одного шарика $m = 1 г$, концентрация шариков в потоке $n = 1000 шт/м^{3}$. Ударами шариков друг о друга пренебречь.
Решение:
Ударяясь о нижнюю грань куба и упруго отскакивая, шарики создают почти постоянную (дальше мы уточним эту оценку) силу, направленную вверх. Эта сила сместит положение равновесия куба на пружине вверх и в системе начнутся колебания. Оценим величину силы, считая для начала куб неподвижным: за малый отрезок времени $\tau$ ударятся о грань куба только те шарики, которые ближе, чем на расстоянии $v_{0} \tau$ от грани, таких шариков будет $na^{2}v_{0} \tau$. Каждый удар передает кубу импульс $2mv_{0}$, всего за время $\tau$ куб получает импульс $(na^{2} v_{0} \tau ) \cdot 2mv_{0}$, это дает силу $F = 2na^{2}mv_{0}^{2}$, которая сместит положение равновесия на $s = F/k$. Это и была бы амплитуда колебаний, если бы не затухание, которое будет амплитуду уменьшать. Период колебаний груза на пружине определяется стандартной формулой $T = 2 \pi \sqrt{ \frac{M}{k} } \approx 0,31 с$ - это самые обычные колебания груза на пружине. Сделаем теперь числовые оценки.
Сила $F = 2 \cdot 1000 \cdot 0,01 \cdot 0,001 \cdot 400 = 8 Н$. Смещение $s = 8/400 = 0,02 м$. Максимальное значение скорости можно найти из закона сохранения энергии, а можно просто умножить амплитуду на круговую частоту колебаний $\omega = \sqrt{ \frac{k}{M} }$ и получить $v = 0,4 м/с$. Малая амплитуда колебаний позволяет считать, что положение нижней грани почти не меняется — скорость шариков перед ударом можно считать равной $v_{0}$. А вот импульс, передаваемый кубу, меняется в зависимости от его скорости — именно этим и объясняется затухание. Посчитаем силу, действующую на движущийся куб. При скорости куба, направленной вверх и равной $u$, сила запишется так:
$F = 2na^{2}m(v_{0} - u)^{2} = 2na^{2}m(v_{0}^{2} + u^{2}) - 4na^{2}mv_{0}u$.
Второе слагаемое меняет знак при изменении скорости куба на противоположную, если бы сила оказалась не зависящей от направления скорости, работа ее за период колебаний была бы нулевой и затухания не было бы. А полученное слагаемое очень похоже на силу вязкого трения — она направлена против скорости и пропорциональна ей. Сделаем очень грубую оценку затухания. Возьмем четверть периода колебаний — от нуля до полного отклонения от положения равновесия на амплитудное значение. Силу трения заменим на ее "среднее" значение — половину от максимального. Тогда работа этой силы
$A = 0,5fs = 0,5 \cdot 4 \cdot 1000 \cdot 0,01 \cdot 0,001 \cdot 20 \cdot 0,4 \cdot 0,02 \approx 3 \cdot 10^{-3} Дж$.
Энергия колебаний системы вначале равна
$W = \frac{ks^{2} }{2} = \frac{400 \cdot 0,02^{2} }{2} = 0,08 Дж$.
Уменьшение амплитуды на 10% соответствует потере 20% энергии, при потере примерно 4% (это $A/W$) за четверть периода мы получим время для заданного затухания приблизительно один-полтора периода колебаний, то есть примерно 0,3—0,45 секунды. Можно сделать и более аккуратную оценку — либо решая уравнение колебаний с затуханием, либо пользуясь аналогией с колебательным контуром, содержащим катушку, конденсатор и небольшой резистор — для этого случая все формулы хорошо известны — однако и наша оценка вполне разумна.
