Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6931
2018-03-29 
Два одинаковых кубика массой $M$ каждый стоят почти соприкасаясь гранями на гладкой горизонтальной поверхности. Сверху на них аккуратно помещают шар массой $m$, и он начинает смещаться вертикально вниз, раздвигая кубики в стороны. Найти скорость шара непосредственно перед ударом о горизонтальную поверхность. Начальная скорость шара пренебрежимо мала. Радиус шара $R$, ребро кубика $H$. Трения нигде нет.
Решение:
Шар движется все время вертикально, кубы разъезжаются с одинаковыми скоростями. До некоторого момента шар касается кубов, а затем они разлетаются и шар продолжает свободно падать.
Найдем положение шара, при котором прекратится касание. Обозначим угол между вертикалью и радиусом в точку касания буквой $\alpha$, скорость куба $u$, скорость шара $v$. Рассмотрим момент перед самым отрывом кубов от шара — шар уже не давит на кубы (а они — на него), но касание еще есть — в системе отсчета, которая движется вместе с кубом, центр шара движется по окружности радиуса $R$. Его скорость в этой системе отсчета (кстати, это инерци-альная система — ускорение куба перед отрывом можно считать нулевым!) $u/ \cos \alpha$ и его нормальное ускорение ан определяется проекцией силы тяжести — сила взаимодействия куб—шар становится нулевой:
$a_{н} = \frac{ (u/ \cos \alpha)^{2} }{R} =g \cos \alpha$.
Мы получили соотношение между скоростью куба в момент отрыва и косинусом угла $\alpha$ в этот же момент. Это соотношение можно использовать, если дополнить его еще одним уравнением для тех же переменных — его можно получить из закона сохранения энергии с учетом связи между $u$ и $v, v = u tg \alpha$:
$mgR ( 1 - \cos \alpha) = \frac{mv^{2} }{2} + Mu^{2} = mu^{2} tg^{2} \alpha + Mu^{2}$.
Подставляя в это уравнение значение квадрата скорости куба $u$, получим уравнение для функции искомого угла:
$mgR(1 - \cos \alpha) = (0,5m tg^{2} \alpha + M) gR \cos^{3} \alpha$.
После преобразований (замена тангенса на косинус, введения $\gamma = M/m$ и приведения к общему знаменателю), получим:
$(2 \gamma - 1) \cos^{3} \alpha + 3 \cos \alpha - 2 = 0$.
Это уравнение для $\cos \alpha$ можно решить, пользуясь известной формулой Кардано, но это не обязательно — вполне можно ограничиться численным (или графическим) решением для нескольких конкретных значений отношения масс — например, для $\gamma = 1$ получим $\cos \alpha \approx 0,596$, для $\gamma = 2$ получим $\cos \alpha \approx 0,523$, для еще больших значений отношения масс (легкий шар) значения косинуса предельного угла уменьшаются — при $\gamma = 50$ получим $\cos \alpha \approx 0,235$. Попробуем уменьшать величину $\gamma$, но так, чтобы коэффициент при кубическом слагаемом в уравнении оставался положительным — при этом значение cos а будет стремиться к 2/3. При отрицательных значениях этого коэффициента получаются большие значения для $\cos \alpha$ — от 2/3 до 1.
Дальше все уже просто — скорость куба после отрыва не меняется и скорость шара перед ударом о плоскость находим при помощи закона сохранения энергии: $mgH = mv^{2} 2/2 + Mu^{2}$. При этом $u^{2} = gR \cos^{3} \alpha$, значения косинуса предельного угла мы находили выше. Подставляя их, найдем ответы для различных соотношений масс.
Два одинаковых кубика массой $M$ каждый стоят почти соприкасаясь гранями на гладкой горизонтальной поверхности. Сверху на них аккуратно помещают шар массой $m$, и он начинает смещаться вертикально вниз, раздвигая кубики в стороны. Найти скорость шара непосредственно перед ударом о горизонтальную поверхность. Начальная скорость шара пренебрежимо мала. Радиус шара $R$, ребро кубика $H$. Трения нигде нет.
Решение:
Шар движется все время вертикально, кубы разъезжаются с одинаковыми скоростями. До некоторого момента шар касается кубов, а затем они разлетаются и шар продолжает свободно падать.
Найдем положение шара, при котором прекратится касание. Обозначим угол между вертикалью и радиусом в точку касания буквой $\alpha$, скорость куба $u$, скорость шара $v$. Рассмотрим момент перед самым отрывом кубов от шара — шар уже не давит на кубы (а они — на него), но касание еще есть — в системе отсчета, которая движется вместе с кубом, центр шара движется по окружности радиуса $R$. Его скорость в этой системе отсчета (кстати, это инерци-альная система — ускорение куба перед отрывом можно считать нулевым!) $u/ \cos \alpha$ и его нормальное ускорение ан определяется проекцией силы тяжести — сила взаимодействия куб—шар становится нулевой:
$a_{н} = \frac{ (u/ \cos \alpha)^{2} }{R} =g \cos \alpha$.
Мы получили соотношение между скоростью куба в момент отрыва и косинусом угла $\alpha$ в этот же момент. Это соотношение можно использовать, если дополнить его еще одним уравнением для тех же переменных — его можно получить из закона сохранения энергии с учетом связи между $u$ и $v, v = u tg \alpha$:
$mgR ( 1 - \cos \alpha) = \frac{mv^{2} }{2} + Mu^{2} = mu^{2} tg^{2} \alpha + Mu^{2}$.
Подставляя в это уравнение значение квадрата скорости куба $u$, получим уравнение для функции искомого угла:
$mgR(1 - \cos \alpha) = (0,5m tg^{2} \alpha + M) gR \cos^{3} \alpha$.
После преобразований (замена тангенса на косинус, введения $\gamma = M/m$ и приведения к общему знаменателю), получим:
$(2 \gamma - 1) \cos^{3} \alpha + 3 \cos \alpha - 2 = 0$.
Это уравнение для $\cos \alpha$ можно решить, пользуясь известной формулой Кардано, но это не обязательно — вполне можно ограничиться численным (или графическим) решением для нескольких конкретных значений отношения масс — например, для $\gamma = 1$ получим $\cos \alpha \approx 0,596$, для $\gamma = 2$ получим $\cos \alpha \approx 0,523$, для еще больших значений отношения масс (легкий шар) значения косинуса предельного угла уменьшаются — при $\gamma = 50$ получим $\cos \alpha \approx 0,235$. Попробуем уменьшать величину $\gamma$, но так, чтобы коэффициент при кубическом слагаемом в уравнении оставался положительным — при этом значение cos а будет стремиться к 2/3. При отрицательных значениях этого коэффициента получаются большие значения для $\cos \alpha$ — от 2/3 до 1.
Дальше все уже просто — скорость куба после отрыва не меняется и скорость шара перед ударом о плоскость находим при помощи закона сохранения энергии: $mgH = mv^{2} 2/2 + Mu^{2}$. При этом $u^{2} = gR \cos^{3} \alpha$, значения косинуса предельного угла мы находили выше. Подставляя их, найдем ответы для различных соотношений масс.
