Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6930
2018-03-29 
Пластинка радиусом 20 см равномерно вращается в горизонтальной плоскости, совершая 33 оборота в минуту. От центра пластинки к ее краю ползет маленький жучок, его постоянная скорость по величине равна 10 см/с и по направлению составляет угол $30^{ \circ}$ с радиусом. При каком минимальном коэффициенте трения жучка о поверхность пластинки он сумеет добраться таким образом до края пластинки?
Решение:
Жук движется относительно пластинки по некоторой кривой — нам не понадобится исследовать эту кривую, на вопрос задачи можно ответить и без этого. Ускорение жука определяется силой трения. Ускорение мы найдем, разделив приращение скорости жука за очень малый интервал времени на продолжительность этого интервала. Пусть в данный момент жук находится на расстоянии $r$ от центра пластинки. В данном случае для расчета приращения скорости удобно рассмотреть три компоненты. Одна из них связана с поворотом "касательной" скорости $\omega r$ за малый интервал времени $\tau$ на некоторый угол. Этот угол равен разности между поворотом пластинки на $\omega \tau$ и поворотом из-за смещения назад со скоростью $v \sin 30^{ \circ}$ — это даст приращение скорости $\Delta v_{1} = \omega r ( \omega \tau - v \sin 30^{ \circ} /r )$, что обеспечит нам известное "центростремительное" ускорение $\omega^{2} r$, направленное вдоль радиуса к центру, за вычетом величины $\omega v \sin 30^{ \circ}$. Вторая компонента связана с поворотом скорости $v$ на угол $\omega \tau$ — эта компонента дает приращение скорости $\Delta v_{2} = \omega \tau v$ и ускорение $\omega v$ под углом $60^{ \circ}$ к радиусу в направлении вращения и, наконец, третья компонента приращения скорости, связанная с тем, что по мере увеличения расстояния до центра вращения увеличивается "касательная" скорость жука: $\Delta v_{3} = \omega (t + \Delta r) - \omega r = \omega v \cos 30^{ \circ} \tau$, эта компонента дает ускорение $\omega v \cos 30^{ \circ}$, направленное перпендикулярно радиусу в сторону вращения. Итак, полное ускорение жука можно найти, сложив эти компоненты с учетом их направлений: $a^{2} = ( \omega^{2}r - \omega v)^{2} + 3 \omega^{2}v^{2}$;
$a = \sqrt{( \omega^{2}r - \omega v)^{2} + 3 \omega^{2}v^{2}}$.
Максимальное по величине ускорение получится у самого края пластинки. Подставим $r = 0,2 м$, угловую скорость $\omega = 2 \pi \cdot 33/60 \approx 3,46 1/с, v = 0,1 м/с$ и получим $a \approx 2,13 м/с^{2}$.
Принимая $g = 10 м/с^{2}$, получим минимально необходимый коэффициент трения жука о поверхность пластинки $k = ma/mg \approx 0,21$.
Пластинка радиусом 20 см равномерно вращается в горизонтальной плоскости, совершая 33 оборота в минуту. От центра пластинки к ее краю ползет маленький жучок, его постоянная скорость по величине равна 10 см/с и по направлению составляет угол $30^{ \circ}$ с радиусом. При каком минимальном коэффициенте трения жучка о поверхность пластинки он сумеет добраться таким образом до края пластинки?
Решение:
Жук движется относительно пластинки по некоторой кривой — нам не понадобится исследовать эту кривую, на вопрос задачи можно ответить и без этого. Ускорение жука определяется силой трения. Ускорение мы найдем, разделив приращение скорости жука за очень малый интервал времени на продолжительность этого интервала. Пусть в данный момент жук находится на расстоянии $r$ от центра пластинки. В данном случае для расчета приращения скорости удобно рассмотреть три компоненты. Одна из них связана с поворотом "касательной" скорости $\omega r$ за малый интервал времени $\tau$ на некоторый угол. Этот угол равен разности между поворотом пластинки на $\omega \tau$ и поворотом из-за смещения назад со скоростью $v \sin 30^{ \circ}$ — это даст приращение скорости $\Delta v_{1} = \omega r ( \omega \tau - v \sin 30^{ \circ} /r )$, что обеспечит нам известное "центростремительное" ускорение $\omega^{2} r$, направленное вдоль радиуса к центру, за вычетом величины $\omega v \sin 30^{ \circ}$. Вторая компонента связана с поворотом скорости $v$ на угол $\omega \tau$ — эта компонента дает приращение скорости $\Delta v_{2} = \omega \tau v$ и ускорение $\omega v$ под углом $60^{ \circ}$ к радиусу в направлении вращения и, наконец, третья компонента приращения скорости, связанная с тем, что по мере увеличения расстояния до центра вращения увеличивается "касательная" скорость жука: $\Delta v_{3} = \omega (t + \Delta r) - \omega r = \omega v \cos 30^{ \circ} \tau$, эта компонента дает ускорение $\omega v \cos 30^{ \circ}$, направленное перпендикулярно радиусу в сторону вращения. Итак, полное ускорение жука можно найти, сложив эти компоненты с учетом их направлений: $a^{2} = ( \omega^{2}r - \omega v)^{2} + 3 \omega^{2}v^{2}$;
$a = \sqrt{( \omega^{2}r - \omega v)^{2} + 3 \omega^{2}v^{2}}$.
Максимальное по величине ускорение получится у самого края пластинки. Подставим $r = 0,2 м$, угловую скорость $\omega = 2 \pi \cdot 33/60 \approx 3,46 1/с, v = 0,1 м/с$ и получим $a \approx 2,13 м/с^{2}$.
Принимая $g = 10 м/с^{2}$, получим минимально необходимый коэффициент трения жука о поверхность пластинки $k = ma/mg \approx 0,21$.
