Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6925
2018-03-29 
На гладком горизонтальном столе находится клин массой $M$ с углом при основании $45^{ \circ}$, на нем клин такой же массой $M$, с таким же углом, так что верхняя плоскость второго клина горизонтальна, а на ней лежит кубик массой $m$. Всю конструкцию сначала удерживают неподвижной. Какую скорость приобретет кубик через время $\tau$ после растормаживания системы? Трением пренебречь. Считать, что за указанный интервал времени характер движения не меняется.
Решение:
Ускорение нижнего клина обозначим буквой $a$, оно горизонтально. Ускорение верхнего клина относительно нижнего направлено вдоль плоскости их соприкосновения — вниз, под углом $45^{ \circ}$ к горизонту. Удобно представить полное ускорение верхнего клина в виде суммы двух векторов — горизонтально направленного вектора, по величине равного $a$ (вместе с нижним клином) и направленного вниз под углом $45^{ \circ}$ вектора, равного по величине $b$. Тогда горизонтальная компонента ускорения верхнего клина направлена противоположно ускорению нижнего и равна $b \cos 45^{ \circ} - a$, вертикальная компонента равна $b \sin 45^{ \circ}$. Ускорение кубика направлено вниз и равно вертикальной составляющей ускорения верхнего клина. Найдем соотношение между величинами $a$ и $b$. Для этого вспомним, что в отсутствие внешних горизонтальных сил ускорение центра масс по горизонтали должно быть нулевым. Кубик движется строго вертикально, поэтому
$M(b \cos 45^{ \circ} - a) = Ma, b = \frac{2a}{ \cos 45^{ \circ} } = 2 \sqrt{2}a$.
Тогда горизонтальная компонента полного ускорения верхнего клина относительно Земли равна $a$, вертикальная компонента ускорения верхнего клина (и кубика) равна $2a$. Модуль полного ускорения клина при этом равен $a \sqrt{5}$.
Воспользуемся законом сохранения энергии для нахождения ускорений тел. Для этого подождем некоторое время $\tau$ после начала движения тел и приравняем полную кинетическую энергию системы уменьшению ее потенциальной энергии. Скорости и смещения за время $\tau$ найдем по формулам для равноускоренного движения. Итак, уменьшение потенциальной энергии системы связано с вертикальным смещением верхнего клина и кубика:
$\Delta E_{П} = 2g(M + m)a \tau^{2}/2$.
Суммарная кинетическая энергия тел: $E_{К} = M (a \tau )^{2}/2 + M( \sqrt{5} a \tau )^{2}/2 + m (2a \tau )^{2}/2$. Приравнивая, получим величину ускорения $a$:
$a = g \frac{M + m}{3M + 2m}$.
Скорость кубика через время $|tau$ после начала движения:
$v = 2 a \tau = 2 g \tau \frac{M + m}{3M + 2m}$.
На гладком горизонтальном столе находится клин массой $M$ с углом при основании $45^{ \circ}$, на нем клин такой же массой $M$, с таким же углом, так что верхняя плоскость второго клина горизонтальна, а на ней лежит кубик массой $m$. Всю конструкцию сначала удерживают неподвижной. Какую скорость приобретет кубик через время $\tau$ после растормаживания системы? Трением пренебречь. Считать, что за указанный интервал времени характер движения не меняется.
Решение:
Ускорение нижнего клина обозначим буквой $a$, оно горизонтально. Ускорение верхнего клина относительно нижнего направлено вдоль плоскости их соприкосновения — вниз, под углом $45^{ \circ}$ к горизонту. Удобно представить полное ускорение верхнего клина в виде суммы двух векторов — горизонтально направленного вектора, по величине равного $a$ (вместе с нижним клином) и направленного вниз под углом $45^{ \circ}$ вектора, равного по величине $b$. Тогда горизонтальная компонента ускорения верхнего клина направлена противоположно ускорению нижнего и равна $b \cos 45^{ \circ} - a$, вертикальная компонента равна $b \sin 45^{ \circ}$. Ускорение кубика направлено вниз и равно вертикальной составляющей ускорения верхнего клина. Найдем соотношение между величинами $a$ и $b$. Для этого вспомним, что в отсутствие внешних горизонтальных сил ускорение центра масс по горизонтали должно быть нулевым. Кубик движется строго вертикально, поэтому
$M(b \cos 45^{ \circ} - a) = Ma, b = \frac{2a}{ \cos 45^{ \circ} } = 2 \sqrt{2}a$.
Тогда горизонтальная компонента полного ускорения верхнего клина относительно Земли равна $a$, вертикальная компонента ускорения верхнего клина (и кубика) равна $2a$. Модуль полного ускорения клина при этом равен $a \sqrt{5}$.
Воспользуемся законом сохранения энергии для нахождения ускорений тел. Для этого подождем некоторое время $\tau$ после начала движения тел и приравняем полную кинетическую энергию системы уменьшению ее потенциальной энергии. Скорости и смещения за время $\tau$ найдем по формулам для равноускоренного движения. Итак, уменьшение потенциальной энергии системы связано с вертикальным смещением верхнего клина и кубика:
$\Delta E_{П} = 2g(M + m)a \tau^{2}/2$.
Суммарная кинетическая энергия тел: $E_{К} = M (a \tau )^{2}/2 + M( \sqrt{5} a \tau )^{2}/2 + m (2a \tau )^{2}/2$. Приравнивая, получим величину ускорения $a$:
$a = g \frac{M + m}{3M + 2m}$.
Скорость кубика через время $|tau$ после начала движения:
$v = 2 a \tau = 2 g \tau \frac{M + m}{3M + 2m}$.
