Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6919
2018-03-29 
В сосуде объема $V = 10 литров$ находится воздух при нормальных условиях. Снаружи - вакуум. В стенке сосуда на время $\tau = 1 секунда$ открывается небольшое отверстие площади $S = 0,1 см^{2}$ и сразу после этого закрывается. Оценить количество вылетевших за это время молекул и среднюю энергию, приходящуюся на одну вылетевшую молекулу. (Кстати, воздух -смесь двухатомных газов.)
Решение:
Оценим число вылетевших из сосуда молекул и сравним его с полным числом молекул газа. Если вылетевшая часть велика, то решение задачи сильно усложнится. Число вылетевших молекул посчитаем так же, как обычно считают число ударов молекул о стенки сосуда: $N_{уд} = 0,5Su_{x} \tau N/V$. Скорость, точнее, компоненту скорости молекулы вдоль заданного направления оценим через энергию поступательного движения молекул (среднеквадратическое значение):
$u_{x} = \sqrt{ \frac{kT}{m} } = \sqrt{ \frac{RT}{M_{ср} } } \approx 280 м/с$.
Итак, за это время вылетела часть $N_{уд} /N = 0,5Su_{x} \tau / V \approx 0,14$ (здесь $N$ — число молекул в сосуде). Видно, что для оценки можно считать неизменными давление газа в сосуде и его температуру (впрочем, можно сделать небольшие поправки, пользуясь для расчетов средними значениями). Число молекул в сосуде $N = N_{A}PV/RT$, $N_{A}$ — число Авогадро. Тогда число вылетевших молекул
$N_{в} = \frac{ 0,5Su_{x} \tau N }{V} = \frac{0,5Su_{x} \tau N_{A}P }{RT} \approx 3,5 \cdot 10^{22}$.
При обычных условиях длина свободного пробега молекул в воздухе очень мала, поэтому истечение молекул из отверстия скорее напоминает движение "сплошной среды": молекулы движутся в заданном направлении толкая друг друга, но практически не обгоняя одна другую. Тогда мы можем выделить в сосуде ту область около отверстия, из которой молекулы успеют "эмигрировать". Обозначим объем этой области $V_{1}$, тогда для этих молекул можно записать уравнение состояния: $PV_{1} = \nu_{1}RT$. Вылетая наружу, эти молекулы имеют в среднем большую энергию, чем оставшиеся в сосуде — над этой порцией газа совершил работу окружающий газ, выталкивая порцию наружу. Если считать давление газа в сосуде неизменным, то работа эта равна $A = PV_{1}$. Тогда энергия этой порции газа станет равной (смесь двухатомных газов)
$U = 2,5 \nu_{1} RT + A = 3,5 \nu_{1} RT$.
На одну молекулу приходится энергия
$\frac{U}{N_{1} } = \frac{U}{ \nu_{1}} N_{A} = 3,5kT$.
Если учитывать падение давления, то эта величина получится немного меньше — примерно $3,4kT$.
В сосуде объема $V = 10 литров$ находится воздух при нормальных условиях. Снаружи - вакуум. В стенке сосуда на время $\tau = 1 секунда$ открывается небольшое отверстие площади $S = 0,1 см^{2}$ и сразу после этого закрывается. Оценить количество вылетевших за это время молекул и среднюю энергию, приходящуюся на одну вылетевшую молекулу. (Кстати, воздух -смесь двухатомных газов.)
Решение:
Оценим число вылетевших из сосуда молекул и сравним его с полным числом молекул газа. Если вылетевшая часть велика, то решение задачи сильно усложнится. Число вылетевших молекул посчитаем так же, как обычно считают число ударов молекул о стенки сосуда: $N_{уд} = 0,5Su_{x} \tau N/V$. Скорость, точнее, компоненту скорости молекулы вдоль заданного направления оценим через энергию поступательного движения молекул (среднеквадратическое значение):
$u_{x} = \sqrt{ \frac{kT}{m} } = \sqrt{ \frac{RT}{M_{ср} } } \approx 280 м/с$.
Итак, за это время вылетела часть $N_{уд} /N = 0,5Su_{x} \tau / V \approx 0,14$ (здесь $N$ — число молекул в сосуде). Видно, что для оценки можно считать неизменными давление газа в сосуде и его температуру (впрочем, можно сделать небольшие поправки, пользуясь для расчетов средними значениями). Число молекул в сосуде $N = N_{A}PV/RT$, $N_{A}$ — число Авогадро. Тогда число вылетевших молекул
$N_{в} = \frac{ 0,5Su_{x} \tau N }{V} = \frac{0,5Su_{x} \tau N_{A}P }{RT} \approx 3,5 \cdot 10^{22}$.
При обычных условиях длина свободного пробега молекул в воздухе очень мала, поэтому истечение молекул из отверстия скорее напоминает движение "сплошной среды": молекулы движутся в заданном направлении толкая друг друга, но практически не обгоняя одна другую. Тогда мы можем выделить в сосуде ту область около отверстия, из которой молекулы успеют "эмигрировать". Обозначим объем этой области $V_{1}$, тогда для этих молекул можно записать уравнение состояния: $PV_{1} = \nu_{1}RT$. Вылетая наружу, эти молекулы имеют в среднем большую энергию, чем оставшиеся в сосуде — над этой порцией газа совершил работу окружающий газ, выталкивая порцию наружу. Если считать давление газа в сосуде неизменным, то работа эта равна $A = PV_{1}$. Тогда энергия этой порции газа станет равной (смесь двухатомных газов)
$U = 2,5 \nu_{1} RT + A = 3,5 \nu_{1} RT$.
На одну молекулу приходится энергия
$\frac{U}{N_{1} } = \frac{U}{ \nu_{1}} N_{A} = 3,5kT$.
Если учитывать падение давления, то эта величина получится немного меньше — примерно $3,4kT$.
