Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6915
2018-03-29 
В глубоком космосе, на большом расстоянии от всех других тел, движется длинная цилиндрическая труба, запаянная с одного конца. Неподалеку от этого конца приклеен поршень массы $M = 1 кг$, отделяющий от окружающего вакуума 1/100 полного объема трубы. В этой части трубы находится небольшая порция азота при температуре $T = 300 К$ (должно быть, ее кто-то нагрел перед самой олимпиадой) и давлении $P = 0,5 атм$. В некоторый момент поршень отклеивается и под давлением газа начинает скользить без трения вдоль трубы. Определите, через какое время после начала движения поршень вылетит из трубы. Длина трубы $L = 5 м$, площадь поперечного сечения $S = 100 см^{2}$, масса трубы в 10 раз больше массы поршня.
Решение:
Будем считать, что труба не вращается — иначе решение задачи усложнится (хотя при заданных массах трубы и груза разница будет незначительной). Газ при расширении охлаждается, его внутренняя энергия переходит в кинетическую энергию трубы и поршня (масса газа оказывается очень малой и при расчете кинетической энергии и импульса с нею можно не считаться). Объем газа увеличивается во много раз, приток тепла отсутствует — можно считать, что температура его в конце процесса совсем мала и в кинетическую энергию переходит практически вся его внутренняя энергия:
$U = 2,5 \nu RT = 2,5 PV = 2,5PSL/100 = 2,5 \cdot 5 \cdot 10^{4} \cdot 0,01 \cdot 0,05 = 62,5 Дж$.
При отношении масс 10 : 1 тяжелая труба получит 1/11 часть общей энергии, а поршень получит 10/11 от энергии газа, то есть его энергия в конце $E \approx 56,7 Дж$. Это соответствует скорости поршня $V = \sqrt{2E / M} \approx 10,7 м/с$. Скорость трубы при этом направлена в противоположную сторону и равна $0,1V = 1,07 м/с$. Если бы с самого начала скорости были такими, поршень вылетел бы из трубы через время $\tau = 0,99L/(1,1 V) \approx 0,42 с$.
Оценим время набора скорости. Если оно окажется существенно меньшим, чем вычисленная нами величина, то ответ можно считать полученным (строго говоря, скорость увеличивается все время — до самого вылета, но все медленнее и медленнее, а нас интересует приближенное значение). Итак, в самом начале движения на поршень действует сила $F = PS$ и его начальное ускорение $a = PS/M = 5 \cdot 10^{4} \times 0,01/1 = 500 м/с^{2}$. Если бы ускорение не менялось, поршень набрал бы свою скорость за время 0,02 с, что существенно меньше времени процесса, рассчитанного выше. Понятно, что скорость будет практически достигнута через время, которое в несколько раз больше полученного интервала 0,02 с, но и им можно для оценки пренебречь. Итак, время до вылета поршня составляет примерно 0,4 секунды.
В глубоком космосе, на большом расстоянии от всех других тел, движется длинная цилиндрическая труба, запаянная с одного конца. Неподалеку от этого конца приклеен поршень массы $M = 1 кг$, отделяющий от окружающего вакуума 1/100 полного объема трубы. В этой части трубы находится небольшая порция азота при температуре $T = 300 К$ (должно быть, ее кто-то нагрел перед самой олимпиадой) и давлении $P = 0,5 атм$. В некоторый момент поршень отклеивается и под давлением газа начинает скользить без трения вдоль трубы. Определите, через какое время после начала движения поршень вылетит из трубы. Длина трубы $L = 5 м$, площадь поперечного сечения $S = 100 см^{2}$, масса трубы в 10 раз больше массы поршня.
Решение:
Будем считать, что труба не вращается — иначе решение задачи усложнится (хотя при заданных массах трубы и груза разница будет незначительной). Газ при расширении охлаждается, его внутренняя энергия переходит в кинетическую энергию трубы и поршня (масса газа оказывается очень малой и при расчете кинетической энергии и импульса с нею можно не считаться). Объем газа увеличивается во много раз, приток тепла отсутствует — можно считать, что температура его в конце процесса совсем мала и в кинетическую энергию переходит практически вся его внутренняя энергия:
$U = 2,5 \nu RT = 2,5 PV = 2,5PSL/100 = 2,5 \cdot 5 \cdot 10^{4} \cdot 0,01 \cdot 0,05 = 62,5 Дж$.
При отношении масс 10 : 1 тяжелая труба получит 1/11 часть общей энергии, а поршень получит 10/11 от энергии газа, то есть его энергия в конце $E \approx 56,7 Дж$. Это соответствует скорости поршня $V = \sqrt{2E / M} \approx 10,7 м/с$. Скорость трубы при этом направлена в противоположную сторону и равна $0,1V = 1,07 м/с$. Если бы с самого начала скорости были такими, поршень вылетел бы из трубы через время $\tau = 0,99L/(1,1 V) \approx 0,42 с$.
Оценим время набора скорости. Если оно окажется существенно меньшим, чем вычисленная нами величина, то ответ можно считать полученным (строго говоря, скорость увеличивается все время — до самого вылета, но все медленнее и медленнее, а нас интересует приближенное значение). Итак, в самом начале движения на поршень действует сила $F = PS$ и его начальное ускорение $a = PS/M = 5 \cdot 10^{4} \times 0,01/1 = 500 м/с^{2}$. Если бы ускорение не менялось, поршень набрал бы свою скорость за время 0,02 с, что существенно меньше времени процесса, рассчитанного выше. Понятно, что скорость будет практически достигнута через время, которое в несколько раз больше полученного интервала 0,02 с, но и им можно для оценки пренебречь. Итак, время до вылета поршня составляет примерно 0,4 секунды.
