ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-03-24   
Релятивистская ракета выбрасывает струю газа с нерелятивистской скоростью $\vec{u}$, постоянной относительно ракеты. Найти зависимость скорости $v$ ракеты от ее массы покоя $m$, если в начальный момент масса покоя ракеты равна $m_{0}$.


Решение:


Скорость выталкиваемых газов $u$ постоянна относительно ракеты. В системе отсчета земли

$\frac{v - u}{1 - \frac{vu}{c^{2} } }$

в направлении ракеты. Уравнение сохранения импульса тогда

$(m + dm)(v + dv) + \frac{v - u}{ 1 - \frac{uv}{c^{2} } } (- dm) = mv$

или $mdv - \left ( \frac{v - u}{ 1 - \frac{uv}{c^{2} } } - v \right ) dm = 0$

Здесь $- dm$ - масса выталкиваемых газов, поэтому

$mdv - \frac{ - u + \frac{uv^{2} }{c^{2} } }{ 1 - \frac{uv}{c^{2} } } dm = 0$, или $mdv + u \left ( 1 - \frac{v^{2} }{c^{2} } \right ) dm = 0$
(пренебрегая $1 - \frac{uv}{c^{2} }$ так как $u$ не релятивистское).

Интегрирование $\left ( \beta = \frac{v}{c} \right ), \int \frac{d \beta}{ 1- \beta^{2} } + \frac{u}{c} \int \frac{dm}{m} = 0, ln \frac{1 + \beta}{1 - \beta} + \frac{u}{c} ln m = const$
Константа $= \frac{u}{c} ln m_{0}$, так как $\beta = 0$ изначально.

Таким образом $\frac{1 - \beta}{1 + \beta} = \left ( \frac{m}{m_{0} } \right )^{u/c}$ или $\beta = \frac{ 1 - \left ( \frac{m }{m_{0} } \right )^{ u/c} }{ 1 + \left ( \frac{m }{m_{0} } \right )^{ u/c} }$