ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-03-24   
Релятивистская частица с импульсом $p$ и полной энергией $E$ движется вдоль оси х K-системы. Показать, что в $K^{ \prime}$ - системе, движущейся с постоянной скоростью $V$ относительно K-системы в положительном направлении ее оси х, импульс и полная энергия данной частицы определяются формулами:

$p_{x}^{ \prime} = \frac{p_{x} - EV/c^{2}}{ \sqrt{1 - \beta^{2}}}, E^{ \prime} = \frac{E - p_{x}V}{ \sqrt{1 - \beta^{2}}}$,

где $\beta = V/c$.


Решение:


По определению,

$E = m_{0} \frac{c^{2} }{ \sqrt{ 1 - \frac{v_{x}^{2} }{c^{2} } } } = \frac{m_{0}c^{3}dt }{ds}, p_{x} = m_{0} \frac{v_{x} }{ \sqrt{ 1 - \frac{v^{2} }{c^{2} } } } = \frac{cm_{0}dx }{ ds}$

где $ds^{2} = c^{2}dt^{2} - dx^{2}$ - инвариантный интервал ($dy = dz = 0$)

Таким образом, $p_{x}^{ \prime} = cm_{0} \frac{ dx^{ \prime}}{ds} = cm_{0} \gamma \frac{(dx - Vdt) }{ds} = \frac{p_{x} - VE/c^{2} }{ \sqrt{ 1 - \frac{V^{2} }{c^{2} } } }$

$E^{ \prime} = m_{0}c^{3} \frac{dt^{ \prime} }{ds} - c^{3} m_{0} \gamma \frac{ \left ( dt - \frac{Vd_{x} }{c^{2} } \right ) }{ds} = \frac{E - Vp_{x} }{ \sqrt{ 1 - \frac{V^{2} }{c^{2} } } }$