ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-03-24   
Частица с массой покоя $m_{0}$ в момент $t = 0$ начинает двигаться под действием постоянной силы $\vec{F}$. Найти зависимость от времени $t$ скорости частицы и пройденного ею пути.


Решение:


Уравнение движения

$\frac{d}{dt} \left ( \frac{m_{0}v }{ \sqrt{1 - \frac{v^{2} }{c^{2} } } } \right ) = F$

Интегрируя $= \frac{v/c}{ \sqrt{ 1 - \frac{v^{2} }{c^{2} } } } = \frac{ \beta}{ \sqrt{1 - \beta^{2} } } = \frac{Ft}{m_{0}c }$, используя $v = 0$ при $t = 0$

$\frac{ \beta^{2}}{ 1- \beta^{2} } = \left ( \frac{Ft}{m_{0}c } \right )^{2}$ или, $ \beta^{2} = \frac{ (Ft)^{2} }{ (Ft)^{2} + (m_{0}c )^{2} } $ или, $v = \frac{Fct}{ \sqrt{ (m_{0}c)^{2} + (Ft)^{2} } }$

или, $x = \int \frac{Fct dt}{ \sqrt{F^{2}t^{2} + m_{0}^{2}c^{2} } } = \frac{c}{F} \int \frac{ \xi d \xi }{ \sqrt{ \xi^{2} + (m_{0}c )^{2} } } = \frac{c}{F} \sqrt{F^{2}t^{2} + m_{0}^{2}c^{2} } + const$

или используя $x = 0$ при $t = 0$, получим, $x = \sqrt{c^{2}t^{2} + \left ( \frac{m_{0}c^{2} }{F} \right )^{2} } - \frac{m_{0}c^{2} }{F}$