ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-03-24   
При каких значениях отношения кинетической энергии частицы к ее энергии покоя относительная ошибка при расчете скорости частицы по классической формуле не превышает $\epsilon = 0,010$?


Решение:


Релятивистски

$\frac{T}{m_{0}c^{2} } = \left ( \frac{1}{ \sqrt{1 - \beta^{3} } } - 1 \right ) = \frac{1}{2} \beta^{2} + \frac{3}{8} \beta^{4}$

Итак $\beta_{rel}^{2} \approx \frac{2T}{m_{0}c^{2} } - \frac{3}{4} ( \beta_{rel}^{2} )^{2} \approx \frac{2T}{m_{0}c^{2} } - \frac{3}{4} \left ( \frac{2T}{m_{0}c^{2} } \right )^{2}$

Таким образом $- \beta_{rel} = \left [ \frac{2T}{m_{0}c^{2} } - 3 \frac{T^{2} }{m_{0}^{2}c^{4} } \right ]^{1/2} = \sqrt{ \frac{2T}{ m_{0}c^{2} } } \left ( 1 - \frac{3}{4} \frac{T}{ m_{0}c^{2} } \right )$

Но классически $\beta_{cl} = \sqrt{ \frac{2T}{m_{0}c^{2} } }$, $\frac{ \beta_{rel} - \beta_{cl}} { \beta_{cl} } = \frac{3}{4} \frac{T}{m_{0}c^{2} } = \epsilon$

Следовательно, если $\frac{T}{ m_{0}c^{2} } < \frac{4}{3} \epsilon$

скорость $\beta$ задается классической формулой с погрешностью меньше $\epsilon$.