ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-03-24   
$K^{ \prime}$ - система перемещается с постоянной скоростью $\vec{V}$ относительно K - системы. Найти ускорение $\omega^{ \prime}$ частицы в $K^{ \prime}$ - системе, если в K-системе она движется со скоростью $v$ и ускорением $\omega$ по прямой:
а) в направлении вектора $\vec{V}$;
б) перпендикулярно к вектору $\vec{V}$.


Решение:



В K скорости в момент времени $t$ и $t + dt$ равны соответственно $v$ и $v + \omega dt$ вдоль оси $x$, которая параллельна вектору $\vec{V}$. В системе отсчета $K^{ \prime}$ движущихся со скоростью $\vec{V}$ по отношению к K, скорости соответственно,

$\frac{v - V}{1 - \frac{vV}{c^{2} } }$ и $\frac{v - \omega dt - V }{ 1 - (v + \omega dt ) \frac{V}{c^{2} } }$

Последняя скорость записывается как

$\frac{v - V}{1 - v \frac{V}{c^{2} } } + \frac{ \omega dt}{1 - v \frac{V}{c^{2} } } + \frac{v - V}{ \left ( 1 - \frac{vV}{c^{2} } \right ) } \frac{ \omega V}{c^{2} } dt = \frac{v - V}{ 1 - v \frac{V}{c^{2} } } + \frac{ \omega dt \left ( 1 - \frac{V^{2} }{c^{2} } \right ) }{ \left ( 1 - \frac{vV}{c^{2} } \right )^{2} }$

Также путем преобразования Лоренца

$dt^{ \prime} = \frac{dt - Vdx /c^{2} }{ \sqrt{1 - V^{2}/c^{2} } } = dt \frac{1 - vV/c^{2} }{ \sqrt{ 1 - V^{2}/ c^{2} } }$

Таким образом, ускорение в системе отсчета $K^{ \prime}$

$\omega^{ \prime} = \frac{dv^{ \prime} }{dt^{ \prime} } = \frac{ \omega}{ \left ( 1 - \frac{vV}{c^{2} } \right )^{3} } \left ( 1 - \frac{V^{2} }{c^{2} } \right )^{3/2}$

(b) В K система отсчета скорости частицы в момент времени $t$ и $t + dt$ соответствуют

$(0, v, 0)$ и $(0, v + \omega dt, 0)$,

где $\vec{V}$ вдоль оси х. В системе отсчтеа $K^{ \prime}$ скорости

$(- V, v \sqrt{ 1 - V^{2} / c^{2} }, 0)$
и $(V, (v + \omega dt) \sqrt{1 - V^{2}/c^{2} }, 0 )$ соответственно

Таким образом, ускорение

$\omega^{ \prime} = \frac{ \omega dt \sqrt{1 - V^{2}/c^{2} } }{dt^{ \prime} } = \omega \left ( 1 - \frac{V^{2} }{c^{2} } \right )$ вдоль оси y.

Мы использовали $dt^{ \prime} = \frac{dt}{ \sqrt{ 1 - V^{2}/c^{2} } }$