ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-03-24   
Стальной шарик диаметра $d = 3,0 мм$ опускается с нулевой начальной скоростью в прованском масле, вязкость которого $\eta = 0,90 П$. Через сколько времени после начала движения скорость шарика будет отличаться от установившегося значения на $n = 1,0$%?


Решение:


$m \frac{dv}{dt} = mg - 6 \pi \eta rv$
или $\frac{dv}{dt} + \frac{6 \pi \eta r }{m} v = g$
или $\frac{dv}{dt} + kv = g, k = \frac{6 \pi \eta r}{m}$
или $e^{ kt} \frac{dv}{dt} + ke^{kt}v = ge^{kt}$ или $\frac{d}{dt} e^{ kt}v = ge^{kt}$
или $v e^{kt} = \frac{g}{k} e^{kt} + C$ или $v = \frac{g}{k} + Ce^{ - kt}$ (где $C = const$).
Так как $v = 0$ для $t = 0, 0 = \frac{g}{k} + C$
Итак, $C = - \frac{g}{k}$
Таким образом, $v = \frac{g}{k} (1 - e^{ - kt} )$
Скорость установившегося состояния равна $\frac{g}{k}$.
$v$ отличается от $\frac{g}{k}$ на $n$, где $e^{ - kt} = n$
Или $t = \frac{1}{k} ln n$
Таким образом, $\frac{1}{k} = - \frac{ \frac{4 \pi}{3} r^{3}P }{6 \pi \eta r} = - \frac{4 r^{2} \rho}{ 18 \eta } = - \frac{d^{2} \rho }{18 \eta}$
Мы пренебрегли плавучестью в масле.