Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6855
2018-03-24 
Длинный цилиндр радиуса $R_{1}$ перемещают вдоль его оси с постоянной скоростью $v_{0}$ внутри коаксиального с ним неподт вижного цилиндра радиуса $R_{2}$. Пространство между цилиндрами заполнено вязкой жидкостью. Найти скорость жидкости в зависимости от расстояния $r$ до оси цилиндров. Течение ламинарное.
Решение:
Рассмотрим коаксиальный цилиндр радиуса $r$ и толщины $dr$, тогда силу трения или вязкая сила на этом элементном слое, $F = 2 \pi r l \eta \frac{dv}{dr}$.
Эта сила должна быть постоянной от слоя к слою, чтобы можно было обеспечить устойчивое движение, или $\frac{F dr}{r} = 2 \pi l \eta dv$. (1)
Интегрируя,
$F \int_{R_{2} }^{2} \frac{dr}{r} = 2 \pi l \eta \int_{0}^{v} dv$
или, $F ln \left ( \frac{r}{R_{2} } \right ) = 2 \pi l \eta v$ (2)
Подставляя $r = R_{1}$, получаем
$F ln \frac{R_{1} }{R_{2} } = 2 \pi l \eta v_{0}$
Из (2) в (3) получаем,
$v = v_{0} \frac{ln r/R_{2} }{ ln R_{1} / R_{2} }$
Длинный цилиндр радиуса $R_{1}$ перемещают вдоль его оси с постоянной скоростью $v_{0}$ внутри коаксиального с ним неподт вижного цилиндра радиуса $R_{2}$. Пространство между цилиндрами заполнено вязкой жидкостью. Найти скорость жидкости в зависимости от расстояния $r$ до оси цилиндров. Течение ламинарное.
Решение:
Рассмотрим коаксиальный цилиндр радиуса $r$ и толщины $dr$, тогда силу трения или вязкая сила на этом элементном слое, $F = 2 \pi r l \eta \frac{dv}{dr}$.
Эта сила должна быть постоянной от слоя к слою, чтобы можно было обеспечить устойчивое движение, или $\frac{F dr}{r} = 2 \pi l \eta dv$. (1)
Интегрируя,
$F \int_{R_{2} }^{2} \frac{dr}{r} = 2 \pi l \eta \int_{0}^{v} dv$
или, $F ln \left ( \frac{r}{R_{2} } \right ) = 2 \pi l \eta v$ (2)
Подставляя $r = R_{1}$, получаем
$F ln \frac{R_{1} }{R_{2} } = 2 \pi l \eta v_{0}$
Из (2) в (3) получаем,
$v = v_{0} \frac{ln r/R_{2} }{ ln R_{1} / R_{2} }$
